用同余运算判断正奇数n的2ⁿ-1、2ⁿ+1模5整除性的疑问

嘿，我来帮你把这个模5的问题理清楚！其实核心是利用模运算的周期性——2的幂次模5会循环出现固定结果，先找出这个周期，再结合n是正奇数的条件分析就简单啦。

第一步：找出2的幂模5的周期 #

先计算2的前几次幂模5的结果：

• 2¹ ≡ 2 (mod 5)
• 2² ≡ 4 (mod 5)
• 2³ ≡ 8 ≡ 3 (mod 5)
• 2⁴ ≡ 16 ≡ 1 (mod 5)
• 2⁵ ≡ 32 ≡ 2 (mod 5)

能看到从2¹开始，每4次幂就会重复一次，周期是4。也就是说，对任意整数k≥0：

• 2^(4k+1) ≡ 2 (mod 5)
• 2^(4k+2) ≡ 4 (mod 5)
• 2^(4k+3) ≡ 3 (mod 5)
• 2^(4k+4) ≡ 1 (mod 5)

第二步：结合n是正奇数的条件拆分n #

因为n是正奇数，它除以4的余数只能是1或3（奇数不可能余0或2），所以n只有两种形式：

• n = 4k + 1（k≥0，对应n=1,5,9,...）
• n = 4k + 3（k≥0，对应n=3,7,11,...）

接下来分别分析两种情况：

(a) 分析2ⁿ - 1 mod5 #

• 当n=4k+1时：2ⁿ ≡ 2^(4k+1) ≡ 2 (mod 5)，所以2ⁿ -1 ≡ 2 -1 =1 (mod5)，结果不为0，不被5整除。
• 当n=4k+3时：2ⁿ ≡2^(4k+3)≡3 (mod5)，所以2ⁿ -1≡3-1=2 (mod5)，结果不为0，不被5整除。

结论：对任意正奇数n，2ⁿ -1都不能被5整除。

(b) 分析2ⁿ +1 mod5 #

• 当n=4k+1时：2ⁿ≡2 (mod5)，所以2ⁿ +1≡2+1=3 (mod5)，结果不为0，不被5整除。
• 当n=4k+3时：2ⁿ≡3 (mod5)，所以2ⁿ +1≡3+1=4 (mod5)，结果不为0，不被5整除。

结论：对任意正奇数n，2ⁿ +1也都不能被5整除。

总结 #

不管n是哪种正奇数，2ⁿ-1和2ⁿ+1模5的结果都不会是0，也就是说它们都无法被5整除。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jitender