齐次空间中两条直线交点求解验证：我的解法是否正确？

首先直接给结论：你的解法和结果不正确，咱们一步步拆解问题，搞清楚哪里出了问题。

先明确两条直线的性质 #

你给出的两条直线：

• $L_1: (1, 1, 2) + x(1, 4, 1)$
• $L_2: (2, 2, 3) + y(1, 4, 1)$

它们的方向向量完全相同，都是$(1,4,1)$，所以在仿射空间里是平行直线，没有普通交点；但在射影空间中，平行直线会交于一个无穷远点，这才是我们要找的目标。

关于射影几何中直线交点的计算 #

你提到用$L_1 \times L_2$的叉积求交点，这里可能混淆了直线的表示方式：
在射影几何中，若要通过叉积求两条直线的交点，首先需要把直线用**线坐标（点对叉积形式）**表示，而不是直接用参数式的直线符号去叉乘。

正确的步骤应该是这样：

1. 对每条直线，取其上两个点，计算它们的叉积得到直线的线坐标：
   • 对$L_1$，取点$P=(1,1,2)$和$Q=(1+1,1+4,2+1)=(2,5,3)$，线坐标为$P \times Q$：
     $$
     P \times Q = \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     1 & 1 & 2 \
     2 & 5 & 3
     \end{vmatrix} = (-7, 1, 3)
     $$
   • 对$L_2$，取点$R=(2,2,3)$和$S=(2+1,2+4,3+1)=(3,6,4)$，线坐标为$R \times S$：
     $$
     R \times S = \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     2 & 2 & 3 \
     3 & 6 & 4
     \end{vmatrix} = (-10, 1, 6)
     $$
2. 两条直线的交点，就是它们线坐标的叉积（得到点的齐次坐标）：
   $$
   (-7,1,3) \times (-10,1,6) = \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
   -7 & 1 & 3 \
   -10 & 1 & 6
   \end{vmatrix} = (3, 12, 3)
   $$
   齐次坐标可以简化为$(1,4,1)$，对应射影空间中的无穷远点（三维射影空间中，无穷远点的齐次坐标形式为$(a,b,c,0)$，这里的$(1,4,1,0)$就是两条平行直线的交点）。

你的结果问题所在 #

你得到的$(1, 0, 0) + z(0, 0, 0)$是无效的：

• $(0,0,0)$不是合法的方向向量，它没有任何几何意义；
• 这个结果也和两条平行直线的正确交点（无穷远点$(1,4,1,0)$）完全不符，说明你在叉积的计算对象或者步骤上出现了错误。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者aceminer