如何对分式$rac{5z^4 + 3z^2 + 1}{2z^2 + 3z + 1}$进行部分分式分解？

看起来你在处理这个复系数分式的部分分式分解时卡在长除法环节了，别担心，咱们一步步拆解，保证每一步都明明白白：

第一步：多项式长除法，将假分式转化为整式+真分式 #

你的原式是：
(5z⁴ + 3z² + 1)/(2z² + 3z + 1)

因为分子次数（4次）高于分母次数（2次），必须先做长除法降次，咱们仔细算一遍：

1. 用分子最高次项5z⁴除以分母最高次项2z²，得到(5/2)z²，这是整式部分的第一项。
2. 把(5/2)z²乘以分母2z²+3z+1，得到5z⁴ + (15/2)z³ + (5/2)z²。
3. 用原分子减去这个结果：

   (5z⁴ + 3z² + 1) - (5z⁴ + (15/2)z³ + (5/2)z²) = - (15/2)z³ + (1/2)z² + 1
   

4. 用新余式的最高次项- (15/2)z³除以2z²，得到- (15/4)z，这是整式部分的第二项。
5. 把- (15/4)z乘分母，得到- (15/2)z³ - (45/4)z² - (15/4)z，再用余式减去它：

   (-15/2 z³ + 1/2 z² +1) - (-15/2 z³ -45/4 z² -15/4 z) = (47/4)z² + (15/4)z + 1
   

6. 用余式最高次项(47/4)z²除以2z²，得到47/8，这是整式部分的第三项。
7. 把47/8乘分母，得到(47/4)z² + (141/8)z + 47/8，用余式减去它：

   (47/4 z² +15/4 z +1) - (47/4 z² +141/8 z +47/8) = (-111/8)z - 39/8
   

现在原式转化为：

(5/2)z² - (15/4)z + 47/8 + [ (-111/8)z - 39/8 ] / (2z² + 3z + 1)

第二步：分母因式分解，拆分真分式 #

先对分母2z²+3z+1因式分解：
2z²+3z+1 = (2z+1)(z+1)

设真分式的部分分式形式：

[ (-111/8)z - 39/8 ] / [(2z+1)(z+1)] = A/(2z+1) + B/(z+1)

两边同时乘以(2z+1)(z+1)消去分母：

(-111/8)z - 39/8 = A(z+1) + B(2z+1)

展开右边并整理：

(-111/8)z - 39/8 = (A + 2B)z + (A + B)

根据等式两边同类项系数相等，列方程组：

• 一次项系数：A + 2B = -111/8
• 常数项：A + B = -39/8

解方程组：用第一个方程减第二个方程，得B = (-111/8) - (-39/8) = -9；代入第二个方程，得A = -39/8 + 9 = 33/8。

所以真分式部分拆分为：

33/[8(2z+1)] - 9/(z+1)

第三步：合并所有部分，得到最终分解结果 #

把整式部分和拆分后的真分式合起来，就是最终的部分分式分解结果：

(5/2)z² - (15/4)z + 47/8 + 33/(8(2z+1)) - 9/(z+1)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Itsnhantransitive