求解齐次一阶ODE：(x+y)y'=3y-x，给定初始条件y(2)=1

你对齐次方程的判断和整理完全没问题！接下来咱们用齐次ODE的标准换元法一步步求解，过程很直观：

1. 换元转化为可分离变量方程 #

令 ( v = \frac{y}{x} )（这是齐次方程的核心换元技巧），则 ( y = vx )。对 ( x ) 求导时用乘积法则：
( y' = v + x\frac{dv}{dx} )

将其代入你整理好的方程 ( y' = \frac{3v - 1}{1 + v} )，得到：
( v + x\frac{dv}{dx} = \frac{3v - 1}{1 + v} )

2. 整理为可分离变量形式 #

把左边的 ( v ) 移到右边，通分化简：
( x\frac{dv}{dx} = \frac{3v - 1}{1 + v} - v = \frac{3v - 1 - v(1 + v)}{1 + v} = \frac{-v^2 + 2v - 1}{1 + v} )

注意分子可以因式分解：( -v^2 + 2v - 1 = -(v-1)^2 )，方程进一步简化为：
( x\frac{dv}{dx} = -\frac{(v-1)^2}{1 + v} )

接下来分离变量，把含 ( v ) 的项移到左边，含 ( x ) 的项移到右边：
( \frac{1 + v}{(v - 1)^2} dv = -\frac{1}{x} dx )

3. 两边积分求解 #

先拆分左边的分式，方便积分：
( \frac{1 + v}{(v-1)^2} = \frac{(v-1) + 2}{(v-1)^2} = \frac{1}{v-1} + \frac{2}{(v-1)^2} )

现在对两边分别积分：
( \int \left( \frac{1}{v-1} + \frac{2}{(v-1)^2} \right) dv = -\int \frac{1}{x} dx )

计算积分结果：

• 左边积分：( \ln|v - 1| - \frac{2}{v - 1} + C_1 )
• 右边积分：( -\ln|x| + C_2 )

合并常数项为 ( C )，并利用对数性质 ( \ln a + \ln b = \ln(ab) ) 化简：
( \ln|x(v - 1)| - \frac{2}{v - 1} = C )

4. 代回原变量得到通解 #

把 ( v = \frac{y}{x} ) 代回，注意 ( x(v-1) = y - x )，代入后整理：
( \ln|y - x| + \frac{2x}{y - x} = C )

这就是方程的隐式通解。

5. 代入初始条件求特解 #

已知 ( y(2) = 1 )，将 ( x=2 )、( y=1 ) 代入通解：
( \ln|1 - 2| + \frac{2 \times 2}{1 - 2} = \ln(1) - 4 = -4 = C )

因此满足初始条件的特解为：
( \ln|y - x| + \frac{2x}{y - x} = -4 )

如果需要显式解，可以进一步整理，但这个隐式形式已经完全满足求解要求了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yep