求映射$z\mapsto e^z$下直线$y=x$及带形域$x-π/2 < y < x+π/2$的像

先纠正个小细节：你写的$e^z = e^{{x+iy}$是对的，但展开式应该是$e}x(\cos y + i\sin y)$哦，不是$\cos x$和$\sin x$，这个小错误会影响后续推导，咱们先把这个掰正~

一、直线$y=x$的像 #

当$z$在直线$y=x$上时，$z=x+ix=x(1+i)$，代入复指数映射：
$$e^z = e^x(\cos x + i\sin x)$$
如果用极坐标$(r,\theta)$表示像点$w=e^{z$，那么$r=|w|=e}x$，$\theta=\arg w=x$（这里$\theta$可以取全体实数，不局限于主值范围）。把$x$用$\theta$替换，就能得到极坐标方程：$r=e^\theta$，这就是对数螺旋线。

这条螺旋线的特点很清晰：当$x$增大时，$\theta$同步增大，$r$按指数规律膨胀，每转一圈（$\theta$增加$2\pi$），半径就扩大$e^{2\pi}$倍；当$x$减小时，$\theta$同步减小，$r$指数趋近于0，螺旋无限靠近原点但永远不会到达。你之前猜测的螺旋线完全正确！

二、带形域$x-\pi/2 < y < x+\pi/2$的像 #

先把带形域的不等式变形一下：$y - x \in (-\pi/2, \pi/2)$。设$w=e^{z=u+iv$，那么$|w|=e}x$（即$x=\ln|w|$），$\arg w = y + 2k\pi$（$k$为整数）。把$x$和$y$代入不等式，得到：
$$-\pi/2 < \arg w - \ln|w| + 2k\pi < \pi/2$$

换个更直观的理解：我们可以把带形域里的点写成$z=x+i(x+\alpha)$，其中$\alpha\in(-\pi/2,\pi/2)$。代入映射后：
$$e^z = e^x \cdot e^{i(x+\alpha)} = e^{x(1+i)} \cdot e^{i\alpha}$$
这里$e^{{x(1+i)}$就是刚才的对数螺旋线，乘以$e}{i\alpha}$相当于把这条螺旋线绕原点旋转$\alpha$角（$\alpha$在$-\pi/2$到$\pi/2$之间变化）。

所以整个像区域是复平面上介于两条对数螺旋线边界$\arg w = \ln|w| + \pi/2 + 2k\pi$和$\arg w = \ln|w| - \pi/2 + 2k\pi$（$k\in\mathbb{Z}$）之间的所有非零点。简单说，就是复平面去掉了那些“偏离”对数螺旋线超过$\pi/2$角度的点，剩下的所有区域（原点除外，因为$e^z$永远不为0）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user532713