$L\otimes_k K$作为$L(X)$-代数有限维性的证明及结构映射问题

咱们先顺着你的思路拆解问题，核心是先搞定结构映射，再利用有限扩张的性质推导出有限维性：

第一步：先建立关键同构$L\otimes_k k(T)\cong L(X)$ #

已知$T$是$k$上的超越元，$k(T)$是$k$上的有理函数域，这一步是突破口：

• 首先看多项式环的张量积：$L\otimes_k k[T]$和$L[X]$是自然同构的——把$1\otimes T$映射到$X$，把$a\otimes1$（$a\in L$）映射到$a\in L[X]$就行，因为$T$是超越元，$k[T]$作为$k$-模的基${1,T,T^{2,\dots}$和$L$张量积后就是$L[X]$的基${1,X,X}2,\dots}$。
• 分式域的张量积保持同构：因为$k(T)$是$k[T]$的分式域，且$L$作为$k$-扩张是平坦模，所以$L\otimes_k k(T)$就是$L[X]$的分式域$L(X)$，对应同构把$1\otimes \frac{f(T)}{g(T)}$（$f,g\in k[T],g\neq0$）映射到$\frac{f(X)}{g(X)}\in L(X)$。

第二步：构造$L(X)\to L\otimes_k K$的结构映射 #

你想用包含映射$L\to L\otimes_k K$的思路完全正确，咱们把它补全：

• 首先，$L$到$L\otimes_k K$的自然嵌入是$a\mapsto a\otimes1$，这个映射是单射，没问题。
• 然后结合第一步的同构，我们把$L(X)$和$L\otimes_k k(T)$等同起来，而$k(T)\subseteq K$，所以自然有嵌入$L\otimes_k k(T)\to L\otimes_k K$：把$x\otimes t$（$x\in L,t\in k(T)$）直接映射到$x\otimes t$（这里$t$看作$K$中的元素）。
• 合起来就是结构映射：对任意$\frac{f(X)}{g(X)}\in L(X)$，映射到$1\otimes \frac{f(T)}{g(T)}$（或者通过同构转化为$L\otimes_k k(T)$中的元素再嵌入）。这里可以验证良定义：如果$\frac{f(X)}{g(X)}=\frac{h(X)}{k(X)}$，那么$f(X)k(X)=h(X)g(X)$，对应到$L\otimes_k k(T)$中就是$1\otimes f(T)k(T)=1\otimes h(T)g(T)$，所以像相等，没问题。

第三步：证明有限维性 #

利用$K/k(T)$是有限扩张的条件：

• 设扩张次数$[K:k(T)]=n$，那么存在一组基$b_1,b_2,\dots,b_n\in K$，使得$K=k(T)b_1\oplus k(T)b_2\oplus\dots\oplus k(T)b_n$。
• 对张量积$L\otimes_k K$，我们有：
  $$L\otimes_k K = L\otimes_k \left(\bigoplus_{i=1}^n k(T)b_i\right) = \bigoplus_{i=1}^n (L\otimes_k k(T))(1\otimes b_i)$$
• 因为$L\otimes_k k(T)\cong L(X)$，所以$L\otimes_k K$作为$L(X)$-模，是由$1\otimes b_1,1\otimes b_2,\dots,1\otimes b_n$这$n$个元素生成的。而$L(X)$是域，有限生成的$L(X)$-模就是有限维向量空间，也就是有限维$L(X)$-代数了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者asdq