求证群G的子群H正规的充要条件：任意a,b∈G，ab∈H↔ba∈H

没问题，我来帮你补全正推（⇒）部分的证明，完全紧扣你给定的正规子群共轭封闭定义来推导：

首先明确正规子群的核心定义：对任意h∈H、x∈G，均有x h x⁻¹ ∈ H（共轭封闭性）。我们需要分两个方向完成等价性证明：

方向1：若ab∈H，则ba∈H #

假设 ( ab \in H )，取 ( x = b )（显然 ( b \in G )），根据正规子群的共轭封闭性，有：

b(ab)b⁻¹ ∈ H

利用群乘法的结合律化简左边表达式：

b(ab)b⁻¹ = (ba)(bb⁻¹) = ba·e = ba

其中 ( e ) 是群 ( G ) 的单位元。因此直接得出 ( ba \in H )。

方向2：若ba∈H，则ab∈H #

假设 ( ba \in H )，这次取 ( x = b^{-1} )（群中每个元素都存在逆元，因此 ( b^{-1} \in G )），根据共轭封闭性：

b⁻¹(ba)(b⁻¹)⁻¹ ∈ H

先利用逆元的性质 ( (b^{-1}){-1} = b )，再化简左边：

b⁻¹(ba)b = (b⁻¹b)(ab) = e·ab = ab

由此可得 ( ab \in H )。

综上，当H是G的正规子群时，对任意 ( a,b \in G )，( ab \in H ) 与 ( ba \in H ) 互为充要条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ash