船与水流合速度问题：时隔十年遇物理题瓶颈，求解水流速度

嘿，隔了10年没碰物理还能想到用矢量相加的思路，已经很棒了！咱们把这个问题拆成坐标系里的分量来算，就清晰多了：

第一步：设定坐标系与矢量分解 #

先定个坐标系：北为y轴正方向，东为x轴正方向。

• 水流是自东向西，所以水流速度的大小设为$v_w$，它的矢量分量是：$(-v_w, 0)$（x轴负方向，y轴无分量）
• 船在静水中的速度是$4 \frac{km}{hr}$，朝向北偏东25°，把它分解到x、y轴：
  • x分量（东西方向）：$4\sin25^\circ$（北偏东的角度是和y轴的夹角，所以x方向用正弦）
  • y分量（南北方向）：$4\cos25^\circ$

第二步：利用合速度的方向列方程 #

船最终要沿北偏东15°行驶，这意味着合速度的x分量与y分量的比值等于$\tan15^\circ$（因为合速度和y轴夹角15°）。

合速度的分量是船速分量加水流分量：

• 合速度x分量：$4\sin25^\circ - v_w$（水流向西，所以是减$v_w$）
• 合速度y分量：$4\cos25^\circ$（水流没有南北分量，直接等于船速的y分量）

根据方向关系，我们得到方程：
$$\frac{4\sin25^\circ - v_w}{4\cos25^\circ} = \tan15^\circ$$

第三步：求解水流速度$v_w$ #

把方程变形求解：
$$v_w = 4\sin25^\circ - 4\cos25^\circ \cdot \tan15^\circ$$

代入三角函数数值计算（$\sin25^{\circ≈0.4226$，$\cos25}\circ≈0.9063$，$\tan15^\circ≈0.2679$）：
$$v_w≈4×0.4226 - 4×0.9063×0.2679≈1.6904 - 0.9712≈0.72 \frac{km}{hr}$$

这样就算出水流速度大概是0.72 km/h啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Wintermute