欧拉-拉格朗日方程何时可被平凡满足？

这个问题问到了变分法里一个很有意思的特殊情况——当欧拉-拉格朗日方程对**所有满足边界条件的函数$y(x)$**都成立时，积分$I$的取值就和路径无关，所有可行路径都是极值函数。这种“平凡满足”的情况主要出现在以下两种场景：

1. $F(x,y,y')$是某个二元函数的全微分 #

如果存在一个二元函数$G(x,y)$，使得$F$可以表示为$G$对$x$的全导数：
$$F(x,y,y') = \frac{dG}{dx} = \frac{\partial G}{\partial x} + y'\frac{\partial G}{\partial y}$$
那么积分$I$的结果就只由边界点的$G$值决定：
$$I = \int_{x_1}^{x_2} \frac{dG}{dx} dx = G(x_2,y_2) - G(x_1,y_1)$$
显然，这个结果和中间路径$y(x)$完全无关。

此时代入欧拉-拉格朗日方程验证：
左边$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial G}{\partial x} + y'\frac{\partial G}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 G}{\partial y \partial x} + y'\frac{\partial^2 G}{\partial y^2}$
右边$\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial G}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 G}{\partial x \partial y} + y'\frac{\partial^2 G}{\partial y^2}$

只要$G$的二阶偏导数连续，混合偏导$\frac{\partial^2 G}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 G}{\partial y \partial x}$就成立，因此欧拉-拉格朗日方程对任意$y(x)$都恒成立。

2. $F$仅依赖于自变量$x$，与$y$和$y'$无关 #

当$F=F(x)$时，积分$I = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$就是一个定积分，结果只和积分区间$[x_1,x_2]$有关，和路径$y(x)$没有任何关系。

此时欧拉-拉格朗日方程的两边都为0：
$$\frac{\partial F}{\partial y} = 0, \quad \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right) = \frac{d}{dx}(0) = 0$$
等式自然对所有满足边界条件的$y(x)$都成立。

举个简单例子 #

比如取$F = y'$，对应的$G(x,y)=y$，此时$\frac{dG}{dx}=y'=F$，积分$I = y(x_2)-y(x_1)$，确实只由边界值决定。代入欧拉-拉格朗日方程：左边$\frac{\partial F}{\partial y}=0$，右边$\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)=\frac{d}{dx}(1)=0$，两边相等，方程被平凡满足。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Joe Stephen