施瓦茨引理应用：证明|f(1/3)|≥1/5的求解疑问

你其实已经走对了关键一步——用对了施瓦茨引理的分式线性变换版本，接下来只需要把得到的模不等式转化为代数不等式求解，过程非常直接：

首先，设 ( w = f(1/3) )，你已经推导得到的不等式是：
$$3|2w - 1| \le |2 - w|$$

由于复数的模是非负实数，我们可以对两边平方来去掉模符号（不等号方向不变）：
$$9|2w - 1|^2 \le |2 - w|^2$$

回忆复数模平方的展开公式：( |a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2\operatorname{Re}(a\overline{b}) )，分别展开左右两边：

• 左边展开：(9\left(4|w|^2 - 4\operatorname{Re}(w) + 1\right))
• 右边展开：(|w|^2 - 4\operatorname{Re}(w) + 4)

将左右两边代入不等式并整理同类项：
$$9(4|w|^2 - 4\operatorname{Re}(w) + 1) - (|w|^2 - 4\operatorname{Re}(w) + 4) \le 0$$
$$36|w|^2 - 36\operatorname{Re}(w) + 9 - |w|^2 + 4\operatorname{Re}(w) - 4 \le 0$$
$$35|w|^2 - 32\operatorname{Re}(w) + 5 \le 0$$

接下来利用复数实部的核心性质：( \operatorname{Re}(w) \le |w| )（任意复数的实部不会超过它的模），代入上式可得：
$$35|w|^2 + 5 \le 32|w|$$

令 ( r = |w| )，转化为关于 ( r ) 的二次不等式：
$$35r^2 - 32r + 5 \le 0$$

解这个二次方程 ( 35r^2 - 32r + 5 = 0 )，计算判别式 ( \Delta = 32^2 - 4 \times 35 \times 5 = 324 = 18^2 )，得到两个根：
$$r_1 = \frac{32 + 18}{70} = \frac{5}{7}, \quad r_2 = \frac{32 - 18}{70} = \frac{1}{5}$$

由于二次函数 ( 35r^2 - 32r + 5 ) 开口向上，不等式的解为 ( r \in \left[\frac{1}{5}, \frac{5}{7}\right] )，也就是：
$$|f(1/3)| = |w| \ge \frac{1}{5}$$

完美！这就是我们要证明的下界，而且当 ( f ) 是满足 ( f(0)=1/2 ) 且 ( f(1/3)=1/5 ) 的单位圆盘自同构（分式线性变换）时，等号成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者meiji163