复希尔伯特空间中，Re⟨Ax,y⟩≤M时，为何|⟨Ax,y⟩|≤M？

数据老陈

2026-5-19

证明复希尔伯特空间算子的内积绝对值界

这是个很经典的复内积空间性质应用问题，核心就是利用复内积的共轭线性性和复数的实部与绝对值的关系来推导，具体步骤如下：

关键观察：复数绝对值与实部的联系

对于任意复数 ( z \in \mathbb{C} )，总能找到一个单位复数 ( u )（即 ( |u|=1 )），使得 ( \text{Re}(u z) = |z| )：

如果 ( z \neq 0 )，取 ( u = \frac{\overline{z}}{|z|} )（这是 ( z ) 的共轭除以模长，显然是单位复数），此时 ( u z = \frac{\overline{z} z}{|z|} = \frac{|z|^2}{|z|} = |z| )，实部就是 ( |z| )；
如果 ( z = 0 )，显然 ( |z|=0 = \text{Re}(u z) ) 对任意单位复数 ( u ) 都成立。

结合题目条件推导

已知对所有 ( x,y \in E )，( \text{Re}\langle Ax, y \rangle \leq M )。现在任取 ( x,y \in E )，令 ( z = \langle Ax, y \rangle )，找到满足 ( \text{Re}(u z) = |z| ) 的单位复数 ( u )。

接下来考虑向量 ( w = \overline{u} y )（因为复内积对第二个变量是共轭线性的，即 ( \langle a, \lambda b \rangle = \overline{\lambda} \langle a, b \rangle )），计算内积：
⟨Ax, w⟩ = ⟨Ax, ū y⟩ = u ⟨Ax, y⟩ = u z

所以 ( \text{Re}\langle Ax, w \rangle = \text{Re}(u z) = |z| = |\langle Ax, y \rangle| )。

而根据题目给出的条件，对于向量 ( w \in E )，必然有 ( \text{Re}\langle Ax, w \rangle \leq M )，因此：
$$|\langle Ax, y \rangle| = \text{Re}\langle Ax, w \rangle \leq M$$