关于赌徒破产模型中p_{k+1}与p_{k-1}推导的技术问询

我来一步步帮你把这个推导补全，把直观理解转化成严谨的书面推导～

首先先明确我们的核心已知条件：

• 停时定义：$$\tau :=\min\left{t\ge 0:X_t=0\text{ or } X_t = n\right}$$，也就是随机游走首次到达0或n的时刻
• 概率定义：$$p_k = \mathbb{P}\left{X_\tau=n \mid X_0=k \right}$$，表示从状态k出发，最终在停时τ到达n的概率
• 随机游走的一步转移：每一步以1/2的概率走到k+1，1/2的概率走到k-1（对应参数p=0.5的伯努利变量驱动的对称游走）

第一步：补全并转化初始等式 #

你已经得到了一半的关键等式，我们先把它补全：
$$\mathbb{P}\left{ X_\tau = n\mid X_0=k\right}= \frac{1}{2} \mathbb{P}\left{ X_\tau=n \mid X_1 = k+1\right} +\frac{1}{2} \mathbb{P}\left{ X_\tau=n \mid X_1 = k-1\right}$$

这里的核心依据是全概率公式：第一步只有两种可能的结果（到k+1或k-1），我们把两种情况的概率加权求和，就得到从k出发最终到n的总概率。

接下来要用到马尔可夫链的核心性质——无记忆性：对于马尔可夫链，未来的演化只依赖于当前状态，和过去的路径完全无关。所以当我们已知$X_1=k+1$时，从时刻1开始的随机游走，等价于从状态k+1重新出发的新游走，它最终到达n的概率就是$p_{k+1}$（因为$p_{k+1}$的定义就是从k+1出发最终到n的概率）。同理，$\mathbb{P}\left{ X_\tau=n \mid X_1 = k-1\right} = p_{k-1}$。

把这两个结论代入上面的等式，就得到了递推关系：
$$p_k = \frac{1}{2}p_{k+1} + \frac{1}{2}p_{k-1}$$

第二步：整理递推式并求解 #

我们把上面的式子两边乘以2，再移项整理：
$$2p_k = p_{k+1} + p_{k-1} \implies p_{k+1} - 2p_k + p_{k-1} = 0$$

这是一个二阶线性齐次递推方程，接下来需要结合边界条件来求解：

• 当k=0时，我们已经在吸收态0，不可能再到达n，所以$p_0 = 0$
• 当k=n时，我们已经在吸收态n，停时τ=0，所以$p_n = 1$

这个递推方程的特征方程是$r^2 - 2r + 1 = 0$，解为$r=1$（重根），所以通解形式是：
$$p_k = A + Bk$$
其中A和B是待确定的常数。

代入边界条件：

1. 代入k=0：$0 = A + B*0 \implies A=0$
2. 代入k=n：$1 = 0 + B*n \implies B=\frac{1}{n}$

所以最终的解就是：
$$p_k = \frac{k}{n}$$

这样就完成了从$p_k$到$p_{k+1}$、$p_{k-1}$的递推推导，以及最终的概率求解啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者3x89g2