带类别约束的测验组合数计算问题咨询

首先咱们把问题拆解清楚：你需要从10个独立类别中每个类别选1道题组成10题测验，求能生成的不同测验总数。

为什么你之前的思路不适用？ #

• Stars and Bars（星条法）：这个方法是用来解决「将相同物品分配到不同容器」的场景（比如把n个相同的球分到k个盒子），但你的问题是从每个类别里选不同的题目，完全不匹配，所以肯定无效。
• 排列公式 n!/(n−m)!：这个公式针对的是「从单一集合里选m个元素排列」的情况，而你的问题是从10个独立类别各选1个元素，属于分步选择，所以也不适用。

正确解法：乘法原理 #

这是典型的分步计数问题，用乘法原理就能轻松解决：

1. 第一个类别有36道题，你有36种选择；
2. 选完第一类的题后，第二个类别有21道题，对应21种选择；
3. 以此类推，每个类别的选择数等于它的题目总量。

分两种情况计算：

• 不考虑测验内题目顺序：只要题目组成相同，不管排列顺序都算同一份测验，总数量就是所有类别题目数的乘积：

  36 × 21 × 23 × 17 × 32 × 19 × 27 × 15 × 16 × 13
  

• 考虑测验内题目顺序：题目排列不同就算不同测验，需要再乘以10道题的全排列数 10!（即3628800），因为选出来的10道题可以有10!种排列方式。

Excel计算大数字的解决办法 #

Mac版Excel的FACT()函数确实只能算到170!，但咱们这里根本不需要超大阶乘：

• 用PRODUCT()函数直接算乘积：输入=PRODUCT(36,21,23,17,32,19,27,15,16,13)就能得到不考虑顺序的结果（约1.51×10¹³）；
• 如果要算考虑顺序的结果，直接把上面的结果乘以FACT(10)即可，10!=3628800，完全在Excel的计算范围内，不会溢出。

举个小例子验证：假设有2个类别，分别有2道和3道题，不考虑顺序的话总共有2×3=6种测验，考虑顺序就是6×2! =12种，完全符合逻辑。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Solar Mike