求证圆周|z-a|=R上多项式P(z)的共轭复积分等式

你一开始的思路完全抓对了方向——结果里的 (2\pi i) 和 (P'(a)) 确实和柯西积分公式直接相关，而圆周上的共轭关系是把带 (d\overline{z}) 的“非常规”积分转化为我们熟悉的复积分的核心突破口。下面是具体的证明步骤：

步骤1：利用圆周方程转化共轭变量 #

在圆周 (C: |z - a| = R) 上，根据复数模的平方性质：

( (z - a)(\overline{z} - \overline{a}) = |z - a|^2 = R^2 )

我们可以解出 (\overline{z}) 的表达式：
[
\overline{z} = \overline{a} + \frac{R^2}{z - a}
]

对这个等式两边求微分，得到 (d\overline{z}) 的表达式：
[
d\overline{z} = -\frac{R^2}{(z - a)^2}dz
]

步骤2：替换积分变量，转化为常规复积分 #

把上面的 (d\overline{z}) 代入原积分，原积分就变成了关于 (z) 的常规围道积分：
[
\int_C P(z)d\overline{z} = \int_C P(z) \cdot \left( -\frac{R^2}{(z - a)^2} \right) dz = -R^2 \int_C \frac{P(z)}{(z - a)^2} dz
]

步骤3：应用柯西积分公式的导数形式 #

回忆柯西积分公式的高阶导数版本：对于解析函数 (f(z))，其 (n) 阶导数满足：
[
f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{(z - a)^{n+1}} dz
]

这里 (P(z)) 是多项式，显然在整个复平面解析，取 (n=1)，就有：
[
P'(a) = \frac{1!}{2\pi i} \int_C \frac{P(z)}{(z - a)^2} dz
]

整理一下可得：
[
\int_C \frac{P(z)}{(z - a)^2} dz = 2\pi i \cdot P'(a)
]

步骤4：代入计算得到最终结果 #

把这个结果代回步骤2的积分表达式：
[
\int_C P(z)d\overline{z} = -R^2 \cdot 2\pi i P'(a) = -2\pi i R^2 P'(a)
]

这样就完成了证明～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JacobsonRadical