直角三角形内切大圆与内嵌相切小圆的半径比值求解咨询

嘿，你选3-4-5这个经典直角三角形来切入真的太机智了！已经算出大圆半径r=1，咱们一步步把剩下的步骤补全：

• 第一步：建立坐标系简化问题
  把直角三角形的直角顶点放在原点(0,0)，两条直角边分别落在x轴和y轴上，三个顶点坐标为：A(0,0)、B(4,0)、C(0,3)。

• 第二步：确定两个圆的圆心坐标

  • 大圆是三角形的内切圆，对于直角三角形，内切圆圆心到两条直角边的距离都等于半径r，所以圆心坐标为(r, r)，也就是(1,1)。
  • 小圆和两条直角边相切，同理它的圆心坐标是(r', r')，其中r'是小圆的半径。

• 第三步：利用两圆外切的条件列方程
  两圆外切时，圆心之间的距离等于两圆半径之和。
  两个圆心(1,1)和(r',r')之间的距离可以用距离公式计算：
  √[(1 - r')² + (1 - r')²] = √2(1 - r')
  这个距离等于r + r' = 1 + r'，所以得到方程：
  √2(1 - r') = 1 + r'

• 第四步：解方程求r'
  整理方程：

  √2 - √2 r' = 1 + r'
  √2 - 1 = r'(√2 + 1)
  r' = (√2 - 1)/(√2 + 1)
  

  有理化分母（分子分母同乘√2 - 1）：

  r' = (√2 - 1)² / [(√2 + 1)(√2 - 1)] = (3 - 2√2)/1 = 3 - 2√2
  

• 第五步：计算半径之比
  因为大圆半径r=1，所以两圆半径之比为：
  r'/r = 3 - 2√2
  也可以写成(√2 - 1)²（两者是等价的，展开后结果一致）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Vindhyachal Vindhyachal