函数列{gₙ}一致收敛于x²的证明：N值选取困惑

看起来你已经走了90%的路了，只差最后一步确定N的值，咱们来把它理顺清楚：

首先先明确已知条件：

• 对每个n，gₙ在区间$I_k = \left[ \frac{k-1}{2^{n-1}}, \frac{k}{2^{n-1}} \right]$（其中$k=1,2,\dots,2^n$）上取常数值$g_n(x) = \left( \frac{k-1}{2^{n-1}} \right)^2$
• 你已经证得，对任意$x \in I_k$，有$|g_n(x) - x^2| \leq \frac{2k-1}{2^{2n-2}}$

第一步：找到整个区间[0,2]上的最大误差上界 #

因为要证明一致收敛，我们需要找到对所有$x \in [0,2]$都成立的误差上界，也就是找到所有$k$对应的$\frac{2k-1}{2^{2n-2}}$中的最大值。

当$k$取最大值$2^n$时，这个上界达到最大：
$$
\frac{2 \cdot 2^n - 1}{2^{2n-2}} = \frac{2^{n+1} - 1}{2^{2n-2}}
$$
我们可以对这个式子做个简化，因为$2^{n+1}-1 < 2^{n+1}$，所以：
$$
\frac{2^{n+1} - 1}{2^{2n-2}} < \frac{2^{n+1}}{2{2n-2}} = 2^{(n+1)-(2n-2)} = 2^{3-n}
$$
这个简化后的上界更容易处理，而且它和原上界一样，当$n \to \infty$时趋向于0。

第二步：解不等式找到N #

现在，对任意给定的$\varepsilon > 0$，我们需要找到一个正整数$N$，使得当$n > N$时，$2^{3-n} < \varepsilon$（这样原误差上界自然也小于$\varepsilon$）。

对不等式两边取以2为底的对数：
$$
3 - n < \log_2 \varepsilon
$$
整理得：
$$
n > 3 - \log_2 \varepsilon
$$
因为$n$必须是正整数，我们可以取$N$为大于等于$3 - \log_2 \varepsilon$的最小整数。举个例子：

• 如果$\varepsilon = 0.1$，那么$\log_2 0.1 \approx -3.32$，所以$3 - (-3.32) = 6.32$，取$N=7$，当$n>7$时，$2^{3-n} \leq 2^{3-8}=1/32=0.03125 < 0.1$，满足要求。
• 如果$\varepsilon > 8$，那么$3 - \log_2 \varepsilon$会是负数，这时候直接取$N=1$就行，因为$n \geq 1$时$2^{3-n} \leq 4 < \varepsilon$。

第三步：验证一致性 #

当$n > N$时，对任意$x \in [0,2]$，$x$必然属于某个$I_k$，此时：
$$
|g_n(x) - x^2| \leq \frac{2k-1}{2^{2n-2}} < 2^{3-n} < \varepsilon
$$
这就满足了一致收敛的定义：对任意$\varepsilon>0$，存在$N$，当$n>N$时，对所有$x \in [0,2]$，$|g_n(x)-g(x)| < \varepsilon$。

这样就完成了整个一致收敛的证明啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者realestate