求证三阶复方阵行列式等于特征值代数重数幂的乘积

嘿，这个问题其实完全不用Jordan标准形就能搞定，咱们从特征多项式入手，刚好能衔接你提到的行列式定义思路，一步步来：

第一步：回忆特征多项式的定义 #

对于3阶复方阵$A \in Mat_3(\mathbb{C})$，它的特征多项式定义为：
$$p_A(t) = \det(tI - A)$$
其中$I$是3阶单位矩阵。根据定义，$A$的特征值$\lambda$就是$p_A(t)=0$的根，而代数重数$m_\lambda$就是$\lambda$作为根的重数（比如二重根的话$m_\lambda=2$）。

第二步：计算特征多项式在$t=0$处的值 #

直接代入$t=0$，可得：
$$p_A(0) = \det(0 \cdot I - A) = \det(-A)$$
根据行列式的性质，$\det(kA)=k^n\det(A)$（$n$是矩阵阶数），这里$n=3$，所以：
$$p_A(0) = (-1)^3 \det(A) = -\det(A)$$
这一步其实也可以用你提到的行列式定义展开$\det(-A)$验证，结果是一致的。

第三步：利用代数基本定理分解特征多项式 #

因为我们在复数域$\mathbb{C}$上，根据代数基本定理，三次多项式$p_A(t)$可以完全分解为一次因式的乘积：
$$p_A(t) = \prod_{\lambda \in \text{Spec}(A)} (t - \lambda)^{m_\lambda}$$
这里$\text{Spec}(A)$是$A$的特征值集合，每个特征值$\lambda$对应它的代数重数$m_\lambda$，显然所有$m_\lambda$的和是3（多项式次数）。

现在代入$t=0$，得到：
$$p_A(0) = \prod_{\lambda \in \text{Spec}(A)} (0 - \lambda)^{m_\lambda} = \prod_{\lambda \in \text{Spec}(A)} (-1)^{m_\lambda} \lambda^{m_\lambda}$$
把$(-1)^{m_\lambda}$提出来，因为$\sum m_\lambda=3$，所以：
$$p_A(0) = (-1)^3 \prod_{\lambda \in \text{Spec}(A)} \lambda^{m_\lambda} = -\prod_{\lambda \in \text{Spec}(A)} \lambda^{m_\lambda}$$

第四步：联立等式得到结论 #

我们已经得到了$p_A(0)$的两个表达式：
$$-\det(A) = -\prod_{\lambda \in \text{Spec}(A)} \lambda^{m_\lambda}$$
两边同时乘以$-1$，就得到：
$$\det(A) = \prod_{\lambda \in \text{Spec}(A)} \lambda^{m_\lambda}$$

这样就完成了证明，全程没用到Jordan标准形，只用到了特征多项式的定义、行列式的基本性质和代数基本定理，完全符合你的要求～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rcoder