求线性算子T(A)=A^t的特征多项式，判断推导是否正确

首先得明确，你的推导存在概念混淆的问题，咱们一步步拆解清楚：

你的推导中的错误点 #

• 你提到( (T∘T)(A)=A )这部分是对的，说明算子( T^2 )是恒等算子，但后面说( P_{T∘T}(x)=P_A(x)=\det(xI−A) )完全搞错了：算子的特征多项式是针对整个线性算子的，恒等算子的特征多项式应该是( (x-1)^d )（其中( d )是空间( V=\text{Mat}_n(\mathbb{R}) )的维度，也就是( d=n^2 )），而不是某个具体矩阵( A )的特征多项式。
• 最后一步( P_T(x)=P_{A^{t}(x)=\det(xI−A}t) )也混淆了核心概念：( P_T(x) )是算子( T )的特征多项式，它和任意矩阵( A )的转置的特征多项式没有直接关联，两者描述的对象完全不同。

正确的推导过程 #

1. 确定特征值：设( \lambda )是( T )的特征值，对应的非零特征向量为( A \in V )，则( T(A)=\lambda A )，即( A^t = \lambda A )。
   对等式两边取转置，得到( A = \lambda A^t = \lambda \cdot (\lambda A) = \lambda^2 A )。
   因为( A \neq 0 )，所以( \lambda^2 = 1 )，即( \lambda=1 )或( \lambda=-1 )。

2. 计算特征子空间的维度：

   • 特征值( 1 )的特征子空间是所有对称矩阵的集合，其维度为( \frac{n(n+1)}{2} )；
   • 特征值( -1 )的特征子空间是所有反对称矩阵的集合，其维度为( \frac{n(n-1)}{2} )。

3. 写出特征多项式：线性算子的特征多项式是( (x-\lambda_1)^{m_1} \cdot (x-\lambda_2)^{m_2} )，其中( m_i )是特征值( \lambda_i )的代数重数（这里等于几何重数，因为( T )是可对角化的）。
   所以( T )的特征多项式为：
   [
   P_T(x) = (x-1)^{\frac{n(n+1)}{2}} \cdot (x+1)^{\frac{n(n-1)}{2}}
   ]

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rcoder