所有正有理数乘积是否为1？及有限交换群乘积性质求证咨询

嘿，咱们来逐个拆解这两个问题：

答案是：这个乘积本身没有定义，所以没法说它等于1。

为啥这么说呢？正有理数是无限多的，而且无限乘积要存在（收敛到一个确定的非零值），有严格的条件——比如通项得趋近于1，且通项减1的级数要收敛。但正有理数里既有无穷多个远大于1的数（比如2,3,4,...），也有无穷多个远小于1的数（比如1/2,1/3,1/4,...）。不管你怎么排列这些数来计算乘积，要么会趋向无穷大，要么会趋向0，根本没法得到一个确定的、一致的结果。所以“所有正有理数的乘积”这个概念本身就不成立，自然谈不上等于1啦。

先给你点个赞，自己啃《Pinter's Book of Abstract Algebra》还琢磨证明，太靠谱了！咱们把你那个思路补得严谨些：

首先回忆有限交换群$G$的两个关键性质：

• 群里每个元素$a$都有唯一的逆元$a^{{-1}$，满足$aa}{-1}=e$（$e$是单位元）；
• 交换群的乘法满足交换律，也就是任意两个元素$a,b$都有$ab=ba$。

题目里说“不存在自身是逆元的元素”，意思就是对$G$里的任意元素$a$，都有$a \neq a^{{-1}$。这时候，群里的元素可以**两两配对**：每个元素$a$都能找到一个和它不同的逆元$a}{-1}$，而且这个配对是双向的——$a$是$a^{-1}$的逆元，反过来也一样，不会出现一个元素对应多个逆元的情况（逆元唯一性保证了这点）。

现在看所有元素的乘积$P = a_1a_2a_3\ldots a_n$（$n$是群的元素个数，因为是有限群，所以$n$是有限数）。利用交换律，我们可以把每一对$(a, a^{-1})$放在一起相乘：
$$P = (a_1a_1^{-1})(a_2a_2{-1})\ldots(a_{k}a_{k}^{-1})$$
这里$n=2k$，因为每个元素都配对成一组，没有单个落单的（毕竟没有自逆元素）。

而根据逆元的定义，每一组$aa^{-1}$的结果都是单位元$e$，那$k$个$e$相乘的结果还是$e$。所以最后就得到$P = e$，完美！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rich Jensen