求证：正整数x对应的f(x)=x²+x+1永远不能被5整除（含尝试过程）

嘿，你的反证法思路已经开了个不错的头，不过这里有两种更清晰的方式完成证明，一种是直接枚举所有可能的模5情况，另一种是顺着你的反证法继续推导：

方法1：枚举x模5的所有可能 #

正整数x除以5的余数只能是0、1、2、3、4这5种情况，我们逐个代入计算$f(x)$模5的结果：

• 当$x \equiv 0 \pmod{5}$时，$f(x) = 0^2 + 0 + 1 = 1 \equiv 1 \pmod{5}$，无法被5整除；
• 当$x \equiv 1 \pmod{5}$时，$f(x) = 1^2 + 1 + 1 = 3 \equiv 3 \pmod{5}$，无法被5整除；
• 当$x \equiv 2 \pmod{5}$时，$f(x) = 2^2 + 2 + 1 = 7 \equiv 2 \pmod{5}$，无法被5整除；
• 当$x \equiv 3 \pmod{5}$时，$f(x) = 3^2 + 3 + 1 = 13 \equiv 3 \pmod{5}$，无法被5整除；
• 当$x \equiv 4 \pmod{5}$时，$f(x) = 4^2 + 4 + 1 = 21 \equiv 1 \pmod{5}$，无法被5整除；

所有可能的情况都不满足$f(x)$被5整除的条件，因此原命题成立。

方法2：顺着你的反证法继续推导 #

你已经推导出方程：$x^2 + x - (10n+4) = 0$（n为整数）。对于这个关于x的二次方程，因为x是正整数，所以它的判别式必须是完全平方数。

二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式公式为$\Delta = b^2 - 4ac$，代入这里的$a=1$、$b=1$、$c=-(10n+4)$，可得：

Δ = 1² - 4*1*(-(10n+4)) = 1 + 40n + 16 = 40n + 17

设$\Delta = k^{2$（k为正整数），则有$k}2 = 40n + 17$。我们对等式两边取模5：
$k^2 \equiv 17 \pmod{5}$，而$17 \div 5$余2，所以$k^2 \equiv 2 \pmod{5}$。

但我们知道，任意整数的平方模5的结果只能是0、1、4（验证：0²=0，1²=1，2²=4，3²=9≡4，4²=16≡1），不存在平方数模5等于2的情况，这就产生了矛盾。

因此，最初“$f(x)$能被5整除”的假设不成立，原命题得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者cdt