如何证明对任意实数x,y，max(x,y)与min(x,y)的绝对值表达式？

嘿，别发愁，这个证明其实核心就是利用绝对值的定义分情况讨论，你已经懂了绝对值的分段定义，那咱们一步步拆解就很简单了！

我们根据$x$和$y$的大小关系分两种情况：

情况1：$x \geq y$ #

此时根据绝对值定义，$|x - y| = x - y$（因为$x - y \geq 0$）。把它代入右边的式子：
$$
\frac{x + y + (x - y)}{2} = \frac{x + y + x - y}{2} = \frac{2x}{2} = x
$$
而当$x \geq y$时，$\max(x, y) = x$，两边相等，成立。

情况2：$x < y$ #

这时候$x - y < 0$，根据绝对值定义，$|x - y| = -(x - y) = y - x$。代入右边式子：
$$
\frac{x + y + (y - x)}{2} = \frac{x + y + y - x}{2} = \frac{2y}{2} = y
$$
而当$x < y$时，$\max(x, y) = y$，两边也相等，成立。

两种情况都验证通过，所以$\max(x, y) = \frac{x + y + |x - y|}{2}$对所有实数$x,y$都成立。

同样分两种情况讨论：

情况1：$x \geq y$ #

此时$|x - y| = x - y$，代入右边式子：
$$
\frac{x + y - (x - y)}{2} = \frac{x + y - x + y}{2} = \frac{2y}{2} = y
$$
当$x \geq y$时，$\min(x, y) = y$，两边相等，成立。

情况2：$x < y$ #

此时$|x - y| = y - x$，代入右边式子：
$$
\frac{x + y - (y - x)}{2} = \frac{x + y - y + x}{2} = \frac{2x}{2} = x
$$
当$x < y$时，$\min(x, y) = x$，两边相等，成立。

同样两种情况都符合，所以$\min(x, y) = \frac{x + y - |x - y|}{2}$对所有实数$x,y$也成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Preston Garvey