关于切平面张成的技术疑问：为何由(1,0,fₓ),(0,1,fᵧ)张成？

嘿，我来帮你把这两个看似不同的切平面表述串起来，其实它们本质是一回事，只是从两个角度描述同一个平面而已～

一、为什么映射$F(x,y)=(x,y,f(x,y))$的切平面由$(1,0,f_x)$和$(0,1,f_y)$张成？ #

首先，$F(x,y)$是把二维平面上的点$(x,y)$直接映射到三维空间里的曲面——也就是咱们熟悉的$z=f(x,y)$的图像。要找这个曲面上点$F(c)=(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$处的切平面，核心是找到切平面的一组基向量：

• 固定$y=y_0$，让$x$沿着$x$轴方向微小变动，此时$F$的变化趋势可以用极限表示：$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{F(x_0+\Delta x,y_0)-F(x_0,y_0)}{\Delta x}=(1,0,f_x(x_0,y_0))$，这就是切平面上的一个方向向量；
• 同理，固定$x=x_0$，让$y$沿着$y$轴方向微小变动，得到的方向向量就是$\lim_{\Delta y \to 0}\frac{F(x_0,y_0+\Delta y)-F(x_0,y_0)}{\Delta y}=(0,1,f_y(x_0,y_0))$。

这两个向量线性无关（前两个分量分别是$(1,0)$和$(0,1)$，没法互相线性表示），所以它们能恰好张成三维空间里的二维平面——也就是我们要找的切平面。

二、和你熟悉的切平面方程怎么对应？ #

你之前写的切平面方程整理后是这样的：
$$z = f(x_0,y_0) + f_x(x-x_0) + f_y(y-y_0)$$

现在看用基向量张成的切平面：切平面上的任意一点都可以表示为
$$F(c) + t\cdot(1,0,f_x) + s\cdot(0,1,f_y)$$
其中$t,s$是任意实数。把这个表达式展开：
$$(x_0 + t,\ y_0 + s,\ f(x_0,y_0) + t\cdot f_x + s\cdot f_y)$$

咱们令$x = x_0 + t$，$y = y_0 + s$，那$t=x-x_0$，$s=y-y_0$，代入$z$的部分就得到：
$$z = f(x_0,y_0) + f_x(x-x_0) + f_y(y-y_0)$$
这和你熟悉的切平面方程完全一致！

总结一下 #

• 用$(1,0,f_x)$和$(0,1,f_y)$张成切平面，是**从“平面由哪些方向的向量生成”**的角度描述；
• 你写的方程是**从“平面上的点满足什么约束（法向量垂直于平面）”**的角度描述。
  两者本质是同一个平面的两种表达方式，完全等价～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user1691278