AP微积分BC试题：求t=1到t=3时平面质点的总路程

嘿，我来帮你把这个AP微积分BC的路程问题理清楚！

题目内容 #

当$t \geq 0$时，平面内运动质点的速度向量为$\boldsymbol{v}(t) = \langle4e^{-t}, \sin(1+\sqrt{t})\rangle$，求该质点在$t = 1$到$t = 3$之间运动的总路程？

核心解题逻辑 #

你一开始选的方法完全正确——平面内质点运动的总路程等于速度向量的模长（也就是速率）在对应时间区间上的定积分，公式是：
$$\text{总路程} = \int_{1}^{3} |\boldsymbol{v}(t)| , dt$$

详细推导步骤 #

1. 计算速度向量的模长
   速度向量$\boldsymbol{v}(t)$的两个分量分别是：

• $v_x(t) = 4e^{-t}$
• $v_y(t) = \sin(1+\sqrt{t})$

模长的平方等于两个分量的平方和，因此：
$$|\boldsymbol{v}(t)| = \sqrt{(v_x(t))^2 + (v_y(t))^2} = \sqrt{(4e^{-t})2 + \left(\sin(1+\sqrt{t})\right)^2}$$

不过我注意到你写的积分里出现了$\left(-4e^{-t}\right)2$和$\dfrac{\cos(1+\sqrt{t})}{2\sqrt{t}}$的项，这应该是把位置向量当成了速度向量的小失误！如果题目里的$\boldsymbol{v}(t)$其实是位置向量$\boldsymbol{r}(t)$，那速度向量应该是位置向量的导数：
$$\boldsymbol{r}'(t) = \langle \frac{d}{dt}(4e^{-t}), \frac{d}{dt}(\sin(1+\sqrt{t})) \rangle = \langle -4e^{-t}, \frac{\cos(1+\sqrt{t})}{2\sqrt{t}} \rangle$$
此时总路程的积分才会是：
$$\int_{1}^{3} \sqrt{\left(-4e^{-t}\right)2 + \left(\frac{\cos(1+\sqrt{t})}{2\sqrt{t}}\right)^2} dt$$

2. 关于积分的求解说明
   不管是哪种情况，这个积分都没办法用初等函数来表示解析解，AP考试里遇到这种情况，一般会要求你用数值积分方法来近似计算，比如：

• 梯形法则（Trapezoidal Rule）
• 辛普森法则（Simpson's Rule）
  或者直接用计算器的数值积分功能得到近似结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Andrew Li