关于闭凸集上强单调连续非Lipschitz函数的技术问询

先明确我们讨论的前提：

• 设$K\subset \mathbb{R}^2$是闭、凸且非空的集合
• $F\colon K\to \mathbb{R}^2$是定义在$K$上的$\gamma$-强单调且连续函数

首先回顾$\gamma$-强单调的严格定义：

函数$F$在$K$上是$\gamma$-强单调的，当且仅当对任意$x, y\in K$，都满足
$$\langle F(x) - F(y), x - y \rangle \ge \gamma |x-y|^2$$

很多人可能会误以为强单调连续函数一定是Lipschitz的，但实际上存在反例：我们可以构造出满足上述强单调+连续条件，但在整个$K$上不具备Lipschitz连续性的函数。

举个具体的例子：函数$F_0(x, y) = (x - y^2, y+y^{3)$。这个函数就满足$\gamma$-强单调和连续性，但它在无界的$K$上不是Lipschitz的——你可以观察它的偏导数，第二个分量对$y$的偏导是$1+3y}2$，当$y$趋向于无穷时，这个偏导的值也会趋向无穷，这就导致函数的“变化率”没有上界，不符合Lipschitz的定义。

不过有意思的是，这类非Lipschitz的强单调函数，在$K$的任意有界子集上都是Lipschitz连续的。因为在有界子集里，$y$的取值范围是有限的，偏导数会有明确的上界，自然满足Lipschitz条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tien Kha Pham