圆心在(4,0)的圆与曲线y=x³+1相切问题的求解疑问

先把原问题明确出来：

设圆心在$(4,0)$的圆与曲线$y=x^3+1$在点$(x_0, y_0)$处相切，所有可能的$x_0$值之和为既约分数$p/q$，求$p+q$。

我来一步步拆解这个问题：

• 首先令$a = x_0$，结合曲线在切点的切线与圆心和切点的连线垂直、切点同时在圆和曲线上这两个核心相切条件，推导后得到了五次方程：
  f(a) = 3a⁵ + 3a² + a - 4 = 0
• 接下来分析这个方程的实根情况：
  • 可以通过绘图直观观察，也可以用导数判断单调性：对$f(a)$求导得$f'(a) = 15a⁴ + 6a + 1$。仔细看这个导数：$15a⁴$恒非负，哪怕$a$取负数，比如$a=-1$时，$15*(-1)^4 +6*(-1)+1=15-6+1=10>0$；$a=0$时导数为1>0，所以$f'(a)$在全体实数范围内恒大于0，说明$f(a)$是严格单调递增的函数，因此这个五次方程只能有1个实根，近似值大概是0.83。
• 再用有理根定理测试可能的有理根：根据定理，可能的有理根是$\pm1, \pm2, \pm4, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{2}{3}, \pm\frac{4}{3}$，把这些值代入$f(a)$验证，没有一个能满足$f(a)=0$，说明这个唯一的实根是无理数。

这就出现了矛盾：题目描述中说“所有可能的$x_0$值之和为既约分数$p/q$”，但我们推导出来只有一个无理实根，和不可能是既约分数。所以我怀疑这个题目本身存在错误。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Display name