技术问询：证明度量ρ(x,y)=√d(x,y)、τ(x,y)=min{d(x,y),1}与d(x,y)等价

待证习题 #

证明度量$\rho(x,y) = \sqrt{d(x,y)}$和$\tau(x,y) = \min{d(x,y),1}$都与原度量$d(x,y)$等价。

我的证明思路与进展 #

我记得两个度量$d_0(x,y)$和$d_1(x,y)$等价的充要条件是：若序列${x_n}$按$d_0$收敛到$x$，则它必然按$d_1$收敛到$x$，反之亦然。

目前我觉得已经完成了$\rho$与$d$的等价性证明，先梳理这部分的推导步骤：

• 首先假设$x_n\stackrel{d}{\to}x$，也就是满足$\forall \epsilon>0, \exists N\geq 1$，当$n\geq N$时，$d(x_n,x)<\epsilon$。由$d(x_n,x) <\epsilon$可以推出...

内容的提问来源于stack exchange，提问作者titusAdam