Dirichlet核L¹(T)范数上界不等式证明求助

问题背景 #

设Dirichlet核$D_{N}(t)=\frac{\sin((2N+1)\pi t)}{\sin(\pi t)}$定义在${\bf T}={\bf R}/{\bf Z}=[0,1]$上。需要证明：对任意正整数$N>0$，有
$$\frac{4}{\pi^{{2}}\sum_{k=1}}{N}\frac{1}{k}\le|D_{N}|_{L^{1}({\bf T})}\le3-\frac{2}{\pi}+\frac{4}{\pi^{{2}}\sum_{k=1}}{N}\frac{1}{k}$$

我的进展与困惑 #

我已经成功证明了左侧的不等式，但在尝试证明右侧不等式时卡壳了。目前我的思路起点是：
\begin{align}
|D_{N}|{L^{1}(\bf T)}&=\int{0}^{1}\bigg|\frac{\sin((2N+1)\pi x)}{\sin(\pi x)}\bigg|dx
\end{align}
后续的处理方向还没找到合适的切入点，希望能得到关于这个右侧不等式证明的思路或步骤提示。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user1992