请求将两类 Hölder 连续函数的英文数学表述翻译为规范中文

咱们来聊聊两类和Hölder连续相关的函数定义吧：

• 第一类是满足混合Hölder条件的多元函数：指从 $\mathbb{R}^n$ 映射到 $\mathbb{R}$ 的函数 $f$，满足如下不等式：
  $$ |f(x) -f(y)| \le C \prod_{i=1}^n |x_i - y_i|^{\alpha_i} $$
  这个条件的特点是对每个坐标分量的差赋予了不同的指数 $\alpha_i$，和后面的统一指数标准定义有所区别。

• 第二类是度量空间之间Hölder连续函数的标准定义：
  假设 $X$ 和 $Y$ 都是度量空间，如果存在正数 $C>0$ 和满足 $0 < \alpha \le 1$ 的指数 $\alpha$，使得对空间 $X$ 里的任意两点 $x,y$，都有：
  $$ d_Y(f(x),f(y)) \le C (d_X(x,y))^\alpha $$
  当我们把这个定义限定到具体的欧氏空间场景——也就是 $X= \mathbb{R}^n$ 且 $Y = \mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 时，就可以用绝对值/模长来简化表达，定义变成：
  $$ |f(x)-f(y)| \le C |x-y|^\alpha \quad \forall x,y \in \mathbb{R}^n $$
  这类函数的例子特别好构造，最简单的情况就是当 $\alpha=1$ 时，这就是我们常说的Lipschitz连续函数；如果取 $0<\alpha<1$，比如函数 $f(x)=|x|^\alpha$（即使在原点附近也符合条件），就是典型的Hölder连续但不满足Lipschitz连续的例子。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Glitch