关于用Y和Xₙ表示伯努利试验交集事件的技术咨询

我来帮你理清楚这个问题～首先咱们先明确核心关系：因为$Y = \sum_{i=1}^{n-1} X_i$（你写的下标从0开始应该是笔误，不过不影响逻辑推导），$Z = \sum_{i=1}^n X_i$，所以显然**$Z = Y + X_n$**，这个等式是拆解事件的关键。

接下来逐个分析你需要的两个事件：

1. 事件${ Z =k} \cap {Y = k-1}$的等价表示 #

把$Z = Y + X_n$代入${Z=k}$，这个事件就转化为${Y + X_n = k}$。现在和${Y = k-1}$取交集，意味着Y已经确定为k-1，要满足$Y + X_n = k$，只能是$X_n = k - Y = k - (k-1) = 1$。

因为$X_n$是伯努利变量，取值只能是0或1，所以这个交集事件等价于：
${ Y = k-1 } \cap { X_n = 1 }$

2. 事件${ Z=k } \cap {Y =k }$的等价表示 #

同样代入$Z = Y + X_n$，${Z=k}$即${Y + X_n = k}$。和${Y =k}$取交集时，Y已经是k，那么$X_n = k - Y = k - k = 0$。

所以这个交集事件等价于：
${ Y = k } \cap { X_n = 0 }$

额外补充验证逻辑：题目中规定$k \in \mathbb{N} \ \ \land k \neq 0 \land k \neq n$，这保证了$k-1$和$k$都在Y的合法取值范围（0到n-1）内，不会出现矛盾的情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者zython