询问三阶ODE $y'''=xy$及其通式$y^{(n)}=xy$的名称与解法

没关系的～咱们来好好梳理你关心的这个微分方程问题：

二阶情形：经典Airy方程 #

你提到把三阶导数改成二阶后得到的$y''=xy$，正是大名鼎鼎的Airy方程。它的通解由两个线性无关的特殊函数构成：第一类Airy函数$\text{Ai}(x)$和第二类Airy函数$\text{Bi}(x)$。这两个函数不仅有你提到的傅里叶变换积分表示，也可以用收敛的幂级数展开来定义，在量子力学、光学等领域都有不少应用。

n阶推广：高阶Airy型方程 #

对于你感兴趣的通式$y^{(n)}=xy$（$n$表示$n$阶导数，$n\geq2$），这类方程通常被称为n阶Airy方程或者高阶Airy型微分方程。关于它的解，有这些关键点：

• 幂级数解构造：可以假设解的形式为$y=\sum_{k=0}^{\infty}a_kxk$，代入方程后能得到系数递推关系：$a_{k+n}=\frac{a_k}{k+1}$，通过这个递推式就能生成收敛的幂级数解，这是最直接的构造方式。
• 积分表示：和二阶Airy方程类似，高阶情形也能通过积分形式来表示解，尤其是当$n$为奇数时，积分表示会涉及复平面上的围道积分，需要考虑函数的多值性和分支切割问题。
• 特殊函数关联：这类方程的解也可以用更广义的特殊函数来表达，比如Meijer G-函数、Fox H-函数这类通用型特殊函数，不过这些函数的应用场景相对偏向数学分析和理论物理的小众领域。

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