技术求证：已知P(|X-Y|<M)=1且Y期望有限，证明X期望有限且|E(X)-E(Y)|<M

咱们一步步来拆解这个证明，分两个核心部分推进：先证X的期望有限，再证期望差的绝对值小于M。

第一步：证明X具有有限期望 #

先明确已知条件：

• 存在常数M，使得$P(|X-Y|<M)=1$（换句话说，几乎处处满足$|X-Y|<M$）
• $Y$的期望有限，也就是$E(|Y|) < \infty$

根据三角不等式，对任意样本点都有：
$$|X| = |(X-Y) + Y| \leq |X-Y| + |Y|$$

因为几乎处处$|X-Y|<M$，所以几乎处处可以推出：
$$|X| < M + |Y|$$

对两边取期望，利用期望的单调性（若随机变量$Z_1 \leq Z_2$几乎处处成立，则$E(Z_1) \leq E(Z_2)$）：
$$E(|X|) \leq E(M + |Y|) = M + E(|Y|)$$

由于$M$是常数，$E(|Y|)$有限，所以$E(|X|)$必然有限——这就说明$X$的期望存在且有限。

第二步：证明$|E(X)-E(Y)| < M$ #

首先，因为$X$和$Y$的期望都有限，根据期望的线性性，直接可得：
$$E(X) - E(Y) = E(X-Y)$$

接下来用期望的三角不等式（本质是Jensen不等式的特例，因为绝对值函数是凸函数）：
$$|E(X-Y)| \leq E(|X-Y|)$$

现在计算$E(|X-Y|)$：
$$E(|X-Y|) = \int_{\Omega} |X-Y| dP = \int_{|X-Y|<M} |X-Y| dP + \int_{|X-Y|\geq M} |X-Y| dP$$

注意到$P(|X-Y|\geq M)=0$，所以第二个积分的结果为0。而第一个积分里，被积函数$|X-Y|<M$，因此：
$$\int_{|X-Y|<M} |X-Y| dP < \int_{|X-Y|<M} M dP = M \cdot P(|X-Y|<M) = M \cdot 1 = M$$

把这些结果串联起来：
$$|E(X)-E(Y)| = |E(X-Y)| \leq E(|X-Y|) < M$$

这样就完成了整个证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者hEcuLE