为何$2^{n\log_2n}=n^n$？推导过程疑问求助

嘿，我来帮你把这个推导理清楚！其实你已经走对方向啦，只差最后几步就能打通逻辑，咱们一步步来拆解：

方法一：利用对数核心恒等式（最直接） #

首先回忆对数的核心恒等式：对于任意正实数a（a≠1）和b，都有 a^{\log_a b} = b

再看你的式子，先处理指数部分：根据对数的幂法则（k\log_a m = \log_a m^k），可以把n\log_2n转化为\log_2n^n。

那原式就变成了：
$$2^{n\log_2n} = 2^{\log_2nn}$$
这时候直接套用上面的恒等式，底数a=2，对数的结果b=n^n，所以这个式子的结果就是n^n，是不是一下子就清晰了？

方法二：沿着你之前的自然指数路径补全 #

你之前推导出2^{n\log_2n}=2^{\frac{\ln{n^n}}{\ln2}}，这条路也完全可行，咱们继续往下走：

1. 首先，任何数都可以写成自然指数的形式：2 = e^{\ln2}，所以2^x = (e^{\ln2})^x = e^{x \cdot \ln2}
2. 把x = \frac{\ln{n^n}}{\ln2}代入上式：
   $$2^{\frac{\ln{nn}}{\ln2}} = e^{\frac{\ln{nn}}{\ln2} \cdot \ln2}$$
3. 这里分母的\ln2和分子的\ln2直接约分，就得到：
   $$e^{\ln{nn}}$$
4. 再利用自然指数和自然对数的互逆性（e^{\ln A}=A），最终结果就是n^n

两种方法都能得到相同的结论，你一开始的推导方向完全没问题，只是差了最后一步约分/套用恒等式而已～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Axel Carré