高阶导数拉氏量的Noether荷求解：对称变换作用量不变性分析

咱们来推导对称变换$x\rightarrow x+f(x)$对应的Noether荷，这个变换得满足作用量不变性条件，具体推导步骤如下：

首先，作用量的变化要满足不变性要求$dS=0$，对应的表达式为：
$$
\begin{align*}
dS&=S\left(x+f\left(x\right),\dots\right)-S\left(x\right)=0\
&=-\int dt\ \left[\mathcal{L}\left(x+f\left(x\right),\dot{x}+\dot{f},\dots,t\right)-\mathcal{L}\left(x,\dot{x},\dots,t\right)\right]
\end{align*}
$$

接下来，借助小量泰勒近似关系$f\left(x+\epsilon\right)-f\left(x\right)\approx \epsilon \frac{df}{dx}$（这是对拉格朗日量展开的基础近似），我们可以把作用量的变化展开为：
$$
\begin{align*}
dS=\int dt\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}f(x) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}\dot{f}(x) + \dots
\end{align*}
$$

后续还可以通过分部积分、结合欧拉-拉格朗日方程进一步化简，最终就能得到对应的Noether荷表达式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者RKLS