测度空间下几乎处处收敛线性组合的证明提示求助

嘿，我来给你点关于这个测度论问题的实用提示——其实你不用绕到级数积分的思路里，从几乎处处收敛的定义出发会直接得多：

• 先明确几乎处处收敛的定义：

  $f_n \rightarrow f$ $\mu$-几乎处处，等价于存在一个零测集$N_1 \subseteq X$，使得对所有$x \notin N_1$，实数序列${f_n(x)}{n\in\mathbb{N}}$都收敛到$f(x)$；同理，$g_n \rightarrow g$ $\mu$-几乎处处对应零测集$N_2 \subseteq X$，对所有$x \notin N_2$，${g_n(x)}{n\in\mathbb{N}}$收敛到$g(x)$。

• 构造两个零测集的并集$N = N_1 \cup N_2$，根据测度的基本性质（单调性与次可加性），$\mu(N) \leq \mu(N_1) + \mu(N_2) = 0$，所以$N$也是一个零测集。
• 对任意$x \notin N$，$x$同时不属于$N_1$和$N_2$，这时候利用实数序列的线性收敛性质：
  limₙ→∞ (αfₙ(x) + βgₙ(x)) = α·limₙ→∞fₙ(x) + β·limₙ→∞gₙ(x) = αf(x) + βg(x)
• 这就直接满足了$\alpha f_n + \beta g_n \rightarrow \alpha f + \beta g$ $\mu$-几乎处处的定义，是不是比你之前想的级数积分路子简洁很多？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gariban