已知4个点求过原点的三次函数解析式

没问题，我来一步步带你推导这个三次函数的解析式，过程很清晰的～

1. 设定函数表达式 #

因为是过原点的三次函数，三次函数的一般形式是 y = ax³ + bx² + cx + d，当x=0时y=0，代入后直接得出d=0，所以我们可以把函数简化为：
y = ax³ + bx² + cx
这里的a、b、c就是我们需要求解的未知系数。

2. 代入已知点得到方程组 #

现在把三个已知点分别代入上面的表达式，得到三个方程：

• 代入点$(1, 3)$：
  当x=1，y=3时，代入得：a(1)³ + b(1)² + c(1) = 3，简化后为：
  a + b + c = 3 --- 方程(1)
• 代入点$(2, 6)$：
  当x=2，y=6时，代入得：a(2)³ + b(2)² + c(2) = 6，计算后两边除以2简化为：
  4a + 2b + c = 3 --- 方程(2)
• 代入点$(-1, 10)$：
  当x=-1，y=10时，代入得：a(-1)³ + b(-1)² + c(-1) = 10，计算后简化为：
  -a + b - c = 10 --- 方程(3)

3. 解三元一次方程组 #

现在我们有三个方程，接下来通过消元法逐步求解：
首先，把方程(1)和方程(3)相加，可以直接消去a和c：
$(a + b + c) + (-a + b - c) = 3 + 10$
计算得：$2b = 13$，所以 $b = \frac{13}{2} = 6.5$

接下来，把b的值代入方程(1)，得到：$a + c = 3 - b = 3 - \frac{13}{2} = -\frac{7}{2}$ --- 方程(4)

再把b的值代入方程(2)，得到：$4a + 2\times\frac{13}{2} + c = 3$，计算后简化为：$4a + c = -10$ --- 方程(5)

然后用方程(5)减去方程(4)，消去c：
$(4a + c) - (a + c) = -10 - (-\frac{7}{2})$
计算得：$3a = -\frac{13}{2}$，所以 $a = -\frac{13}{6}$

最后把a的值代入方程(4)，求出c：
$c = -\frac{7}{2} - a = -\frac{7}{2} - (-\frac{13}{6}) = -\frac{4}{3}$

4. 写出最终的函数解析式 #

把求得的a、b、c代入简化后的函数式，得到：
y = -\frac{13}{6}x³ + \frac{13}{2}x² - \frac{4}{3}x
如果觉得分数不太直观，也可以两边乘以6消去分母，写成整数形式：
6y = -13x³ + 39x² - 8x，或者整理为 y = \frac{-13x³ + 39x² - 8x}{6}

你可以把三个点代回去验证一下，确保结果是正确的～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Haotian H.