次高斯范数不可能性结果证明：各向同性随机向量支撑集下界问询

各位好，给大家分享一个已经被证实的关于各向同性随机向量的结论：

设$X$为各向同性随机向量，其有限支撑集$T \subset \mathbf{R}^n$。若$|X|_{\mathrm{s.g.}} = O(1)$，则$|T| \geq e^{cn}$。

下面给大家拆解一下这里涉及的关键定义：

• 符号$|\cdot|{\mathrm{s.g.}}$代表随机向量的次高斯范数，它的定义为：
  $$|X|{\mathrm{s.g.}} = \sup_{u \in S^{n-1}} |\langle X,u \rangle |$$
• 上式中的$|\cdot|$指的是标量随机变量的次高斯范数（即若$Y$是标量随机变量，则$|Y| = \dots$，原内容未给出该定义的完整表述）。

这个结论的核心意思是：当各向同性随机向量的次高斯范数是有界常数（也就是$O(1)$）时，它的支撑集大小必须是指数级的（至少为$e^{cn}$，其中$c$是某个正的常数），这也体现了这类随机向量的分布特性——要满足次高斯范数有界，支撑点的数量不能太少。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Drew Brady