验证初等嵌入j下j''(X,ℬ)是(j(X),j(ℬ))的子空间

最近我在折腾一个拓扑学相关的验证问题，具体设定如下：

• 设X是拓扑空间，它的基为ℬ，而且每个点都存在大小<κ的局部基；
• 令j:V→M是一个初等嵌入，满足crit(j)=κ；
• 我们把拓扑空间(j''X,{j''B:B∈ℬ})记作j''(X,ℬ)，现在要验证这个空间是(j(X),j(ℬ))的子空间——这里要注意，前者的拓扑基是{j''B:B∈ℬ}，后者的拓扑基是j(ℬ)。

我目前正试着啃下这个验证，《New proofs ...》这篇论文里已经给出了这个结论的证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JKEG