全称量化语句∀ₓ[p(x)→¬q(x)]的否定化简求助

你的前两步推导完全没问题，问题出在第三步对蕴含符号否定的处理上——咱们先把蕴含式的核心等价规则搞明白，这是解决这个问题的关键：

必记的核心规则：蕴含式的否定 #

先记住这个基础逻辑等价式：对于任意两个命题A和B，$A \to B$ 等价于 $\neg A \lor B$。那它的否定就可以用德摩根律推导：
$$\neg(A \to B) \equiv \neg(\neg A \lor B) \equiv A \land \neg B$$
简单来说就是：否定“如果A则B”，等价于“A成立，且B不成立”，绝对不是双条件（↔），这就是你推导出错的核心原因啦。

正确的完整推导步骤 #

咱们重新一步步推：

1. 写出原语句的否定形式：
   $$\neg\forall_x[p(x) \to \neg q(x)] \tag 1$$
2. 应用量词否定规则（全称量词的否定是存在量词）：
   $$\exists_x\neg [p(x) \to \neg q(x)] \tag 2$$
3. 把蕴含式的否定替换成正确的等价形式：
   $$\exists_x\left[p(x) \land \neg(\neg q(x))\right] \tag 3$$
4. 化简双重否定 $\neg(\neg q(x)) \equiv q(x)$，得到最终结果：
   $$\exists_x\left[p(x) \land q(x)\right] \tag 4$$

复盘你的错误点 #

你第三步写成了$\exists _x[\neg p(x)\leftrightarrow \neg(¬q(x))]$，这是混淆了蕴含式和双条件的逻辑关系。双条件$A \leftrightarrow B$等价于$(A→B)∧(B→A)$，和蕴含式的否定完全不是一回事。下次再遇到蕴含的否定，直接套用$A∧¬B$的规则就不会错啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user532766