求定积分∫₂ᵗ√(u⁴-16)du对t的导数（不计算积分值）

嘿，这问题其实刚好是**微积分基本定理（第一部分）**的典型应用，完全不用费劲去算那个复杂的积分！

先给你说核心结论：如果有一个函数 ( F(t) = \int_a^t f(u) , du )，其中 ( f(u) ) 是在区间 ([a, t]) 上的连续函数，那么 ( F(t) ) 关于 ( t ) 的导数直接就是 ( f(t) )。

放到你的问题里看：

• 这里的被积函数是 ( f(u) = \sqrt{u^4 - 16} )，当 ( u \geq 2 ) 时，根号里的 ( u^4 - 16 \geq 0 )，而且这个函数是初等函数，在定义域内连续，完全满足定理的条件。
• 积分的下限是常数2，上限是变量t，完美符合定理的形式。

所以直接把被积函数里的u换成t就行，结果就是：
$$\frac{d}{dt} \int_2^t \sqrt{u^4 - 16} , du = \sqrt{t^4 - 16}$$

为啥不用先算积分再求导？因为这个积分的原函数根本不是初等函数（没法用我们学过的常见函数表示出来），但微积分基本定理帮我们绕开了这个难题——它直接建立了定积分（作为上限的函数）和被积函数之间的导数关系，简直是这类问题的“作弊神器”！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者spica