如何将二重积分∫₀¹∫₀ˣF(x,y)dydx转化为一维积分？已知F(x,y)=f(y)

嘿，这个问题其实核心是交换积分次序，结合给定的F的定义就能轻松搞定，我一步步给你拆解：

• 第一步：明确原积分的区域
  原累次积分∫₀¹∫₀ˣF(x,y)dydx的积分范围是：x从0到1，对每个固定的x，y的范围是0到x。这个区域是第一象限里由直线y=0、y=x和x=1围成的三角形。我们可以把这个区域换一种方式描述：y从0到1，对每个固定的y，x的范围是y到1。

• 第二步：代入F的定义
  题目里给出F(x,y)=f(y)，也就是说这个二元函数和x完全无关，只依赖于y。把它代入原积分后，积分就变成：
  ∫₀¹∫₀ˣ f(y) dy dx

• 第三步：交换积分次序（利用Fubini定理）
  因为f是可积函数，满足Fubini定理的条件，所以我们可以交换积分的先后顺序，把先对y积分改成先对x积分，对应调整积分限后，积分变为：
  ∫₀¹ [∫ᵧ¹ f(y) dx] dy

• 第四步：计算内层积分
  由于f(y)和x无关，在对x积分时它是常数，可以直接提到积分外面。内层的积分∫ᵧ¹ dx计算结果是1 - y，所以整个积分就简化成了一维积分：
  ∫₀¹ f(y)(1 - y) dy

当然，积分变量是哑变量，你也可以把y换成x，写成∫₀¹ f(x)(1 - x)dx，结果是完全一样的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user519338