连续数学金融凸性问题技术问询：布朗收益过程积分边界

嘿，我正在钻研连续数学金融领域里的凸性相关问题，目前卡在两个核心疑问上：

• 我推导得出的一般性结论是否正确？
• 如果结论成立，该如何完成严谨的证明？

问题场景设定 #

假设存在一个服从布朗运动的收益过程，任意时刻$t$的瞬时收益值为$r_t$。初始价值为1.0，经过连续复利计算后，时间$t_f$后的总价值为：
$$\int_0^{t_f}e{r_t}dt $$

现在存在一个固定值$\hat r$，使得：
$$\int_0^{t_f}e{\hat r}dt $$
满足……

内容的提问来源于stack exchange，提问作者eSurfsnake