为何a→a不是函子？关于Bartosz文章相关论断的疑问

你提到的这个构造——把类型a映射到a -> a，并定义fmap f aa = id——乍一看好像满足复合律，但其实它违反了函子的核心要求之一：恒等律，而且从范畴论的本质定义来看，它也没有正确保持范畴的结构。下面具体拆解：

1. 直接违反函子的恒等律 #

函子的第一个硬性规则是：对于任意对象a，fmap id必须是作用在F a上的恒等态射。换句话说，不管你传入什么x :: F a，fmap id x必须原封不动地返回x本身。

看你的定义：

fmap :: (a -> b) -> (a -> a) -> (b -> b)
fmap f aa = id

当f是id :: a -> a时，fmap id aa = id。但这里的问题非常明显：返回的id函数（比如\x -> x）根本不是你传入的aa啊！举个例子，如果aa是\x -> x + 1（一个Int -> Int的函数），那fmap id aa返回的是\x -> x，而不是原来的加1函数——这直接违反了恒等律，fmap id没有起到“恒等映射”的作用。

2. 范畴论层面的本质缺陷 #

从范畴论的角度说，函子是两个范畴之间的结构保持映射，它需要做到两点：

• 映射对象：把源范畴的每个对象a映射到目标范畴的对象（你把a映射到a -> a，这部分没问题）；
• 映射态射：把源范畴的每个态射h :: a -> b映射到目标范畴的态射F h :: F a -> F b，并且必须保持恒等态射和态射的复合：
  • 源范畴的恒等态射id_a，被映射后必须是目标范畴中F a上的恒等态射（也就是id :: (a -> a) -> (a -> a)，即输入什么函数就返回什么函数）；
  • 源范畴中两个态射的复合g . f，被映射后必须等于两个映射态射的复合F g . F f。

你的定义里，F id_a是一个总是返回id函数的函数，而不是目标范畴的恒等态射——这就彻底破坏了范畴结构的保持。函子的核心意义就是“不改变结构地转换范畴”，你这里把恒等态射映射成了一个完全无关的态射，自然不可能被认可为函子。

补充：为什么复合律看起来成立？ #

你可能已经注意到，你的定义里fmap (g . f) aa = id，而(fmap g . fmap f) aa = fmap g id = id，看起来复合律是满足的。但要记住：复合律成立只是必要条件，不是充分条件——函子必须同时满足恒等律和复合律，缺一不可。只满足复合律的映射，根本算不上函子。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者allidoiswin