逆变对偶场张量的定义及从郑大培教材公式(10.52)推导的问询

嘿，这个问题问得相当精准！先给你拍板：你的观点完全正确——逆变对偶场张量确实可以通过反转郑大培教材里协变对偶场张量定义的指标位置得到，下面咱们一步步把推导过程理清楚。

第一步：明确协变对偶场张量的定义（郑大培教材公式(10.52)） #

首先，郑大培教材里的协变对偶场张量$\tilde{F}{\mu\nu}$定义为：
$$\tilde{F}{\mu\nu} = \frac{1}{2}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}F^{\rho\sigma}$$
其中：

• $\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$是4阶全反对称协变Levi-Civita符号，在闵氏度规下（通常取$g_{\mu\nu} = \text{diag}(-1,1,1,1)$），$\epsilon_{0123}=1$，交换任意两个指标符号变号；
• $F^{{\rho\sigma}$是电磁场的逆变场张量，满足$F}{\rho\sigma} = -F^{\sigma\rho}$。

第二步：指标提升的核心逻辑 #

要得到逆变对偶场张量$\tilde{F}^{{\mu\nu}$，我们需要利用狭义相对论中的**度规张量**来“提升”协变指标。度规的逆变形式$g}{\mu\nu}$和协变形式$g_{\mu\nu}$互为逆矩阵，满足$g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu} = \delta^\mu_\nu$（克罗内克符号，仅当$\mu=\nu$时为1，否则为0）。

对协变对偶场张量的两个协变指标分别提升，得到逆变版本的基本关系：
$$\tilde{F}^{\mu\nu} = g^{\mu\alpha}g{\nu\beta}\tilde{F}_{\alpha\beta}$$

第三步：代入协变定义推导逆变形式 #

把协变对偶场张量的定义$\tilde{F}{\alpha\beta} = \frac{1}{2}\epsilon{\alpha\beta\rho\sigma}F^{\rho\sigma}$代入上式：
$$\tilde{F}^{\mu\nu} = g^{\mu\alpha}g{\nu\beta} \cdot \frac{1}{2}\epsilon_{\alpha\beta\rho\sigma}F^{\rho\sigma}$$

这里需要用到Levi-Civita符号的指标变换性质：逆变Levi-Civita符号$\epsilon^{{\mu\nu\rho\sigma}$的定义是$\epsilon}{\mu\nu\rho\sigma} = g^{\mu\alpha}g{\nu\beta}g^{{\rho\gamma}g}{\sigma\delta}\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}$。但我们只需要提升前两个指标，因此可以简化为：
$$g^{\mu\alpha}g{\nu\beta}\epsilon_{\alpha\beta\rho\sigma} = \epsilon^{\mu\nu}{}_{\rho\sigma}$$

同时，逆变场张量$F^{\rho\sigma}$可以通过度规降指标得到协变场张量$F_{\rho\sigma} = g_{\rho\gamma}g_{\sigma\delta}F^{\gamma\delta}$。结合这两点，最终我们可以将逆变对偶场张量的定义改写为：
$$\tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma}$$

这个式子正好对应你所说的“反转公式(10.52)中的指标位置”——协变定义是协变Levi-Civita符号×逆变场张量，逆变定义则是逆变Levi-Civita符号×协变场张量，本质就是把所有指标的协变/逆变属性反转了。

第四步：用具体分量验证一致性 #

我们拿闵氏度规下的分量举例验证：取$\mu=0,\nu=1$，计算$\tilde{F}^{01}$：

• 根据协变定义：$\tilde{F}{01} = \frac{1}{2}(\epsilon{0123}F^{23} + \epsilon_{0132}F^{32}) = \epsilon_{0123}F^{23} = F^{{23}$（因为$\epsilon_{0132}=-\epsilon_{0123}$，$F}{32}=-F^{23}$）；
• 提升指标：$\tilde{F}^{01} = g^{00}g{11}\tilde{F}_{01} = (-1)(1)F^{23} = -F^{23}$；
• 根据逆变定义：$\tilde{F}^{01} = \frac{1}{2}(\epsilon^{0123}F_{23} + \epsilon^{{0132}F_{32})$，其中$\epsilon}{0123}=-1$，$F_{23}=F^{{23}$，$F_{32}=-F}{23}$，代入得$\frac{1}{2}(-1 \cdot F^{23} + 1 \cdot (-F^{23})) = -F^{23}$，和提升指标的结果完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Keith