平面波经薄透镜聚焦至焦点的数学建模技术问询

嘿，我来帮你把平面波经薄透镜聚焦的推导补全，再结合你已经做的Mathematica可视化梳理清楚逻辑～

我们从入射波特性、透镜相位调制、菲涅尔衍射计算三个步骤来拆解，最后结合你的Mathematica结果解释曲率来源。

1. 入射波与透镜的相位调制 #

已知沿z轴传播的入射平面波复振幅为：
$$U_{\text{in}}(x,y,z) = e^{ikz}$$
其中$k=2\pi/\lambda$是波数，$\lambda$为入射光波长。

当平面波到达位于$z=0$平面的薄透镜时，入射场简化为$U_{\text{in}}(x,y,0)=1$（因为$z=0$时$e^{ikz}=1$）。薄透镜会对波前施加一个与位置相关的相位延迟，你给出的相位因子是完全正确的：
$$\phi_{\text{lens}}(x,y) = -\frac{ik}{2f}(x^2+y2)$$
这个相位延迟的作用是把平面波的波前“掰弯”，转换成向焦点会聚的球面波。因此，透镜出射面（$z=0^+$）的复振幅为：
$$U_{\text{out}}(x,y,0) = U_{\text{in}}(x,y,0) \cdot e^{\phi_{\text{lens}}(x,y)} = e^{{-\frac{ik}{2f}(x}2+y^2)}$$

2. 菲涅尔衍射计算z处的出射场 #

要计算透镜后方任意$z>0$位置的场，我们用菲涅尔衍射积分（适合近场衍射场景，完全符合透镜聚焦的条件）：
$$U(x', y', z) = \frac{e^{ikz}}{i\lambda z} \iint_{-\infty}^{\infty} U_{\text{out}}(x,y,0) \cdot e^{{\frac{ik}{2z}[(x'-x)}2 + (y'-y)^2]} dxdy$$

关键展开与聚焦条件 #

把$U_{\text{out}}$代入积分后，展开指数中的二次项：
$$\frac{ik}{2z}[(x'-x)^2 + (y'-y)^2] - \frac{ik}{2f}(x^2+y2) = \frac{ik}{2z}(x'^2+y'2) - \frac{ik}{z}(x'x + y'y) + \frac{ik}{2}(x^2+y2)\left( \frac{1}{z} - \frac{1}{f} \right)$$

我们把与$x,y$无关的项（仅含$x',y'$的项）提到积分外，得到：
$$U(x', y', z) = \frac{e^{ikz} \cdot e^{{\frac{ik}{2z}(x'}2+y'^2)}}{i\lambda z} \iint_{-\infty}^{\infty} e^{-ik\left( \frac{x'x}{z} + \frac{y'y}{z} \right)} \cdot e^{{\frac{ik}{2}(x}2+y^2)\left( \frac{1}{z} - \frac{1}{f} \right)} dxdy$$

当$z=f$（聚焦面）时

此时$\frac{1}{z} - \frac{1}{f}=0$，积分里的二次项直接消失，积分简化为二维傅里叶变换形式：
$$\iint_{-\infty}^{\infty} e^{-ik\left( \frac{x'x}{f} + \frac{y'y}{f} \right)} dxdy$$
如果是理想无限大透镜，这个积分的结果是$(2\pi)^2 \delta\left( \frac{kx'}{f} \right)\delta\left( \frac{ky'}{f} \right)$——也就是场完全集中在$(x'=0,y'=0)$的焦点处。但实际透镜有有限孔径，积分结果会变成艾里斑（有限大小的光斑），这就是你说的“聚焦为有限光斑”的核心来源。

当$z≠f$时

此时积分里的二次项保留，波前的相位会包含$x'^2+y'2$的项，对应的波前曲率半径为$R(z)=\frac{zf}{f-z}$（可以通过相位的二次项系数推导：相位$\phi \propto \frac{x'^2+y'2}{2R(z)}$）。这就是你在Mathematica中沿x轴绘图时看到恒定曲率的原因——对于固定的z，曲率半径R(z)是常数，波前呈现标准的球面波形态。

3. 你的Mathematica可视化补充 #

你已经只沿x轴（y=0）绘图得到了恒定曲率，这里给你补一个更完整的代码示例，用来计算聚焦面（z=f）的光斑和非聚焦面的曲率：

(* 定义物理参数 *)
λ = 633*10^-9;    (* 红光波长，单位m *)
k = 2π/λ;         (* 波数 *)
f = 0.1;          (* 透镜焦距，单位m *)
aperture = 0.005; (* 透镜孔径半宽，单位m *)

(* 透镜出射面的复振幅（z=0，y=0） *)
uLens[x_] := Exp[-I k x^2/(2 f)];

(* 菲涅尔衍射计算x轴上的复振幅 *)
uField[x_, z_] := Exp[I k z]/(I λ z) * NIntegrate[
    uLens[x0] * Exp[I k (x - x0)^2/(2 z)],
    {x0, -aperture, aperture}
];

(* 绘制聚焦面（z=f）的振幅分布（有限光斑） *)
Plot[Abs[uField[x, f]], {x, -0.001, 0.001},
    PlotLabel -> "聚焦面（z=f）的x轴振幅分布",
    AxesLabel -> {"x (m)", "振幅"},
    PlotStyle -> Blue
]

(* 绘制非聚焦面（z=1.5f）的相位分布（恒定曲率） *)
Plot[Arg[uField[x, 1.5 f]], {x, -0.005, 0.005},
    PlotLabel -> "非聚焦面（z=1.5f）的x轴相位分布",
    AxesLabel -> {"x (m)", "相位"},
    PlotStyle -> Red
]

运行这段代码后，你会看到聚焦面的振幅形成尖锐的峰（艾里斑的中心），而非聚焦面的相位随$x^2$线性变化，对应恒定的球面波曲率，和你之前的结果完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SuperCiocia