洛伦兹变换的正交性：无需光速不变假设推导洛伦兹方程

嘿，咱们从你已经得到的结论往下推进：

首先，我们的核心目标是找到时空坐标变换矩阵$L(v)$，它满足：
$$ \begin{bmatrix}x' \ t'\end{bmatrix} = L(v) \begin{bmatrix}x \ t\end{bmatrix} $$

你已经推导出$L(v)$的形式是：
$$ L(v) = \begin{bmatrix} \gamma & - \gamma v \ \varepsilon & \gamma \end{bmatrix}, $$
这里的$\gamma$和$\varepsilon$都是关于速度$v$的待确定函数。接下来咱们用相对性原理和低速近似来确定这两个函数，全程不涉及光速不变假设。

步骤1：利用相对性原理推导逆变换对称性 #

相对性原理告诉我们：所有惯性系都是平权的，从$S'$系变换回$S$系的逆变换，形式上和正变换对称，只需把速度换成$-v$。

所以逆变换矩阵$L(-v)$为：
$$ L(-v) = \begin{bmatrix} \gamma(-v) & \gamma(-v) v \ \varepsilon(-v) & \gamma(-v) \end{bmatrix} $$

而正变换与逆变换的乘积必须是单位矩阵（变换过去再变回来等于没变换）：
$$ L(v)L(-v) = I $$

步骤2：展开矩阵乘积并分析元素 #

把两个矩阵乘开后得到：
$$
\begin{bmatrix}
\gamma\gamma(-v) - \gamma v \varepsilon(-v) & \gamma \cdot \gamma(-v)v - \gamma v \cdot \gamma(-v) \
\varepsilon \gamma(-v) + \gamma \varepsilon(-v) & \varepsilon \cdot \gamma(-v)v + \gamma \cdot \gamma(-v)
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}1 & 0 \ 0 & 1\end{bmatrix}
$$

先看第二行第一列的元素：$\varepsilon \gamma(-v) + \gamma \varepsilon(-v) = 0$。我们合理假设$\gamma$是偶函数（毕竟$\gamma$只和速度大小有关，和方向无关），即$\gamma(-v)=\gamma(v)$，代入后可得$\varepsilon(-v) = -\varepsilon(v)$——说明$\varepsilon$是奇函数。

再看第一行第一列的元素：$\gamma^2 - \gamma v \varepsilon(-v) = 1$，把$\varepsilon(-v)=-\varepsilon(v)$代入，得到关键关系式：
$$ \gamma^2 + \gamma v \varepsilon(v) = 1 \tag{1} $$

步骤3：用低速近似确定函数形式 #

当速度$v$远小于某个极限速度（这里先不定义为光速）时，变换应该退化为我们熟悉的伽利略变换，其矩阵为$\begin{bmatrix}1 & -v \ 0 & 1\end{bmatrix}$。

所以当$v\to0$时：

• $\gamma(v)\to1$
• $\varepsilon(v)\to0$

把$\gamma\to1$代入式(1)，得到$1 + v\varepsilon(v)\approx1$，这和$\varepsilon(v)\to0$的要求一致，验证了我们的假设方向是对的。

接下来，因为$\varepsilon(v)$是奇函数，我们可以设$\varepsilon(v) = -k\gamma(v)v$（$k$为常数，保证$\varepsilon$的奇函数性质），代入式(1)：
$$ \gamma^2 + \gamma v (-k\gamma v) = 1 $$
整理后得到：
$$ \gamma^2(1 - k v^2) = 1 $$
解得：
$$ \gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - k v^2}} $$

步骤4：引入极限速度得到标准洛伦兹变换 #

到这里，我们全程没用到光速不变假设，$k$是一个需要通过实验确定的常数。后来实验发现宇宙中存在一个不可超越的极限速度$c$（真空中的光速），此时令$k = \frac{1}{c^2}$，代入后就得到了标准的洛伦兹变换参数：
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c2}}} $$
$$ \varepsilon = -\frac{\gamma v}{c^2} $$

最终的洛伦兹变换矩阵为：
$$ L(v) = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c2}}} & -\frac{v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c2}}} \ -\frac{v}{c^2\sqrt{1 - \frac{v^2}{c2}}} & \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c2}}} \end{bmatrix} $$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者za893411