$\mathbb{R}^{k}$上紧概率测度序列的等价性探究

刚好我之前在学习概率测度紧性的时候也对比过这两个定义，其实它们是完全等价的，我来一步步给你理清楚：

先明确两个核心定义 #

首先是你提到的教材中的矩形版紧性定义：

设${\mu_{n}}$是$(\mathbb{R}^{{k},\mathcal{B(\mathbb{R}}{k})})$上的概率测度序列，若对任意$\epsilon>0$，存在有界矩形$A$（形式为$A={x\in\mathbb{R}^{k}: a_{i}<x_{i}\leq b_{i}, i=1,\ldots,k}$），使得对所有$n$均满足$\mu_{n}(A)>1-\epsilon$，则称该序列是紧的。

另一种常见的紧集版紧性定义（也是很多教材采用的标准定义）：

设${\mu_{n}}$是$(\mathbb{R}^{{k},\mathcal{B(\mathbb{R}}{k})})$上的概率测度序列，若对任意$\epsilon>0$，存在紧集$K\subseteq\mathbb{R}^k$，使得对所有$n$均满足$\mu_{n}(K)>1-\epsilon$，则称该序列是紧的。

等价性证明（两个方向推导） #

1. 矩形版紧性 ⇒ 紧集版紧性 #

我们知道$\mathbb{R}^{k$里的有界矩形$A$是**相对紧**的——它的闭包$\overline{A}$是有界闭矩形，根据$\mathbb{R}}k$的Heine-Borel定理，有界闭集就是紧集。

对于任意$\epsilon>0$，根据矩形版定义，存在有界矩形$A$使得$\mu_n(A) > 1-\epsilon$对所有$n$成立。此时取紧集$K=\overline{A}$，显然$\mu_n(K) \geq \mu_n(A) > 1-\epsilon$，完全满足紧集版的定义要求。

2. 紧集版紧性 ⇒ 矩形版紧性 #

反过来，给定任意$\epsilon>0$，根据紧集版定义，存在紧集$K$使得$\mu_n(K) > 1-\epsilon$对所有$n$成立。

还是利用Heine-Borel定理：$\mathbb{R}^k$中的紧集一定是有界的。那我们可以构造一个足够大的有界矩形$A$，让$K$完全包含在$A$里面——比如对每个坐标维度$i$，取$a_i$小于$K$中所有点第$i$坐标的下确界，$b_i$大于$K$中所有点第$i$坐标的上确界，这样$K \subseteq A$。

此时$\mu_n(A) \geq \mu_n(K) > 1-\epsilon$，也就满足了矩形版的定义要求。

关键核心 #

这两个定义等价的本质原因是$\mathbb{R}^k$的Heine-Borel性质：紧集和有界闭集是等价的，而有界矩形的闭包是紧集，同时任何紧集都能被有界矩形覆盖，这就搭建了两个定义之间的桥梁。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Squird37