关于证明线性变换I-ST与I-TS等价可逆性的技术问询

嘿，我来帮你把这个线性变换可逆性的证明捋明白～你提到的提示表达式$I + T(I - ST)^{-1}S$确实是关键，咱们一步步展开验证，你之前可能是展开时没找对合并项的方式，导致没看到抵消效果。

第一步：假设$I-ST$可逆，证明$I-TS$可逆 #

我们要验证：$(I - TS)$的逆就是$I + T(I - ST)^{-1}S$，只需要证明两者的乘积等于单位变换$I$即可。

先计算左乘的情况：$(I - TS)\left(I + T(I - ST)^{-1}S\right)$
展开这个乘积：

(I - TS)·I + (I - TS)·T(I - ST)^{-1}S
= I - TS + T(I - ST)^{-1}S - TS·T(I - ST)^{-1}S

接下来对后面两项提取公因子$T$：

= I - TS + T\left[I - ST\right](I - ST)^{-1}S

这里注意，$(I - ST)$和它的逆$(I - ST)^{-1}$相乘结果是单位变换$I$，所以上式可以简化为：

= I - TS + T·I·S
= I - TS + TS
= I

同样，咱们再验证右乘的情况：$\left(I + T(I - ST)^{-1}S\right)(I - TS)$
展开后用同样的逻辑提取公因子$S$，最终也会得到$I$，这里就不重复推导了。这就说明当$I-ST$可逆时，$I-TS$确实可逆，且逆就是$I + T(I - ST)^{-1}S$。

第二步：反过来，假设$I-TS$可逆，证明$I-ST$可逆 #

这一步完全对称，只需要用表达式$I + S(I - TS)^{-1}T$，按照上面的方法验证它和$I-ST$的乘积等于$I$即可，推导过程和第一步几乎一模一样，你可以自己试试看～

为什么之前展开没抵消？ #

你之前可能是在展开时没有及时提取公因子$T$或$S$，导致没发现$(I-ST)$和其逆相乘消去的关键步骤，把项拆解开后就看不到抵消的逻辑啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John