如何数值近似椭球面上两点的测地中点？

嘿，我来聊聊怎么近似计算椭球上两点的测地中点，结合你提到的椭球梯度信息，给你几个实用的思路：

我们手头是任意椭球，标准方程是：
$$\frac{x^2}{a2}+\frac{y^2}{b2}+\frac{z^2}{c2}=1$$
也可以用对应的参数形式表示。椭球上有两个任意点 $p_1, p_2$，过这两点存在一条测地线，我们的目标是近似求出这条测地线上的测地中点 $p_{mid}$。已知我们能轻松算出椭球 $E$ 的梯度 $\nabla E$，而且这个梯度是指向椭球原点外侧的。

1. 欧氏中点投影修正法（最易上手） #

这是最直观的入门方案：

• 先算 $p_1$ 和 $p_2$ 的欧氏中点：p_euc = (p1 + p2) / 2
• 这个欧氏中点基本不在椭球上，我们可以沿着原点连线方向把它投影到椭球上，得到初始近似点 $p_{init}$：
  • 设投影缩放参数为 $t>0$，让 $t \cdot p_{euc}$ 满足椭球方程，解出来就是：
    $$t = \frac{1}{\sqrt{\frac{p_{euc,x}^2}{a2}+\frac{p_{euc,y}^2}{b2}+\frac{p_{euc,z}^2}{c2}}}$$
  • 这个投影点就是初始的近似中点
• 之后可以用迭代法微调：每次计算当前点到 $p_1$ 和 $p_2$ 的测地线长度，根据长度差调整点的位置，直到两侧长度的差值满足你需要的精度

2. 切平面交线结合中垂面的近似 #

利用梯度能快速得到椭球任意点的切平面，我们可以这么做：

• 分别算出 $p_1$ 和 $p_2$ 处的切平面 $\Pi_1$ 和 $\Pi_2$，方程分别是 $\nabla E(p_1) \cdot (x - p_1) = 0$ 和 $\nabla E(p_2) \cdot (x - p_2) = 0$
• 找到两个切平面的交线 $L$，这条线大致对应测地线的中间走向
• 再找出 $p_1, p_2$ 连线的欧氏中垂面，这个平面和交线 $L$ 的交点，就能作为测地中点的初始近似，之后再投影到椭球上做迭代修正

3. 参数化迭代逼近法 #

如果用椭球的参数形式（比如变形球坐标：$x = a\sin\theta\cos\phi, y = b\sin\theta\sin\phi, z = c\cos\theta$），可以这么操作：

• 把 $p_1, p_2$ 转换成对应的参数 $(\theta_1,\phi_1)$ 和 $(\theta_2,\phi_2)$
• 先取参数中点 $(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}, \frac{\phi_1+\phi_2}{2})$ 对应的椭球点作为初始近似
• 定义目标函数 $f(p) = d(p,p_1) - d(p,p_2)$，其中 $d(\cdot,\cdot)$ 是椭球上的测地线长度，用梯度下降法最小化 $|f(p)|$，直到收敛
  • 测地线长度可以用数值积分计算：沿着参数曲线积分椭球第一基本形式的弧长元素就行

• 以上都是近似解法，因为一般椭球的测地线没有闭合形式的解析解，所以迭代收敛后的结果记得根据你的精度需求验证
• 椭球梯度 $\nabla E$ 在所有方法里都很有用：不管是投影修正还是切平面计算，它能帮我们快速定位椭球法向，大幅减少计算量

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Makogan