求独立几何随机变量X、Y的最小值min(X,Y)的分布（错误解答）

问题：设X和Y为独立随机变量，分别服从参数为$p_1$和$p_2$的几何分布，求$\text{min}(X,Y)$的分布律。

嘿，我来一步步帮你推导这个问题的解法：首先我们令$Z = \text{min}(X,Y)$，接下来分情况分析$Z$取不同非负整数时的概率：

1. 先写出各取值的概率表达式 #

• 当$Z=0$时，只有X和Y都取0，最小值才会是0，结合独立性可得：
  $$
  P(Z = 0) = P(X = 0) P(Y = 0)
  $$
• 当$Z=1$时，有三种符合条件的情况：X取1且Y小于1、Y取1且X小于1、或者X和Y都取1，把这些情况的概率加起来：
  $$
  P(Z = 1) = P(X = 1) P(Y < 1) + P(Y = 1)P(X < 1) + P(X = 1)P(Y = 1)
  $$
• 当$Z=2$时，逻辑和上面一致：
  $$
  P(Z = 2) = P(X = 2) P(Y < 2) + P(Y = 2)P(X < 2) + P(X = 2)P(Y = 2)
  $$
• 推广到一般情况，当$Z=i$（$i$为非负整数）时：
  $$
  P(Z = i) = P(X = i) P(Y < i) + P(Y = i)P(X < i) + P(X = i)P(Y = i)
  $$

2. 代入几何分布的公式化简 #

这里我们采用首次成功前失败次数的几何分布定义（即随机变量取值为0,1,2,...），它的概率质量函数为：
$$
P(X = i) = p_1(1-p_1)^i, \quad P(Y = i) = p_2(1-p_2)^i
$$
而累积概率$P(X < i)$是X取0到i-1的概率和，计算可得：
$$
P(X < i) = 1 - (1-p_1)^i, \quad P(Y < i) = 1 - (1-p_2)^i
$$

把这些代入$P(Z=i)$的表达式，化简后可以得到更简洁的形式：
$$
\begin{align*}
P(Z=i) &= p_1(1-p_1)^i \cdot [1 - (1-p_2)^i] + p_2(1-p_2)^i \cdot [1 - (1-p_1)^i] + p_1(1-p_1)^i \cdot p_2(1-p_2)^i \
&= p_1(1-p_1)^i + p_2(1-p_2)^i - (p_1+p_2-p_1p_2)(1-p_1)^i(1-p_2)i
\end{align*}
$$

另外还有个更高效的推导思路：先算$P(Z > i)$（也就是X和Y都大于i的概率，因为最小值大于i意味着两个变量都得大于i），结合独立性：
$$
P(Z > i) = P(X > i)P(Y > i) = (1-p_1)^{i+1}(1-p_2){i+1}
$$
再用$P(Z=i) = P(Z \leq i) - P(Z \leq i-1)$推导，最终能得到：
$$
P(Z=i) = [1 - (1-p_1)(1-p_2)] \cdot [(1-p_1)(1-p_2)]^i
$$
这说明$Z$同样服从几何分布，参数为$p = 1 - (1-p_1)(1-p_2)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bob