发散至0的无穷乘积的导数问题探究

咱们先来看这个定义好的函数：
$$f_n(x) = \prod\limits_{k=2}^n \left( 1-\frac{x}{k} \right)$$

对于所有$x \in (0,2)$，我们能得到这样的极限结论：
$$\lim_{n\to\infty}; f_n(x) = \prod\limits_{k=2}^\infty \left( 1-\frac{x}{k} \right) =0$$

这个结论可不是凭空来的，它源于一个经典的无穷乘积收敛判定准则：

若对所有的$k$，都有$q_k \in [0,1)$，则无穷乘积$\prod\limits_{k=1}^{\infty} (1-q_k)$等于0 当且仅当 级数$\sum\limits_{k=1}^\infty q_k$发散。

现在我们把关注点转移到函数$f_n(x)$的导数上，比如……

内容的提问来源于stack exchange，提问作者dshunter23